Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Rediktioinsimethodc zur Vervollstiindigung der vorstehenden Theorie. 231
~ 4.
Reduktionsmethode zur Vervollständigung der vorstehenden Theorie.
546.
Es dürfte nicht unnützlich sein, die soeben von uns elltwickelte Theorie in wenige Worte zusammenznfassen.
Ist die Gleichung xn-1= O, in welcher der Exponent n eine
Primzahl ist, gegeben, und sieht man von dem Faktor x- 1 ab, so
reduciert sich alles auf die Bestimmung der imaginären Wurzeln der
Gleichung X==O, und da jede Wurzel von der Form
27C 7t 2 t
cos --- ]- 1 sin
man nur einen der reen Werte on x
ist, so braucht inman nur einen der reellen Werte von x + S,
welcher stets durch 2 cos -272 dargestellt wird, zu haben. Hierzu
gelangt man durch die Auflösung einer Reihe von Gleichungen, deren
Grade, mit einander multipliciert, das Produkt (n- 1) ergeben, und
deren Wurzeln sämtlich reell sind.
Ist k die gröfste Primzahl, welche in - 1 aufgeht, und ist
n - 1 = ink, so bildet man zuerst die Gleichung vom Grade k, welche
die Perioden voyn m Gliedern, nämlich (m: 1), (rn:g), (m:g(),. (m:~-1),
worin g eine der primitiven Wurzeln von n ist, zu Wurzeln hat. Diese
Gleichung, welche von der Form pk +I) 2-1 ^ +-t ccpk-2 + ~pk-3 + = 0
ist, und deren Koefficienten stets ganze Zahlen sind, besitzt die folgenden zwei bemerkenswerten Eigenschaften:
1) Wenn die Wurzeln ), p', p,... die Werte der Perioden von
m Gliedern in der Reihenfolge (m:1), (mg:), (m:'2),... oder allgemein in der Reihenfolge ( ': a), (m: ca), (m: s2),... sind, und wenn
eine dieser Wurzeln bekannt ist und mitp bezeichnet wird, so ergeben
sich alle folgenden 1) p",... (k-1) aus ) und den aufeinanderfolgenden Potenzen p2, p13,. pk-' durch einen Ausdruck von der Form
A -+ B +- CJps... +-* Lp —, in welchem die Koefficienten
1, B,... rationale Zahlen sind.
2) Ist eine rationale ganze Funktion qp der Wurzeln p, p', p",..
oder nur einiger von ihnen gegeben, und läfst man die Buchstaben
p umn eine Stelle vorrücken, um nach und nach von der Funktion (p
zur Funktion C9', darauf von der Funktion 9p' zur Funktion g ' u. s. w.
iberzugehen, bis man zur Funktion q(k-1) gelangt, so ist die mit S(g)
bezeichnete Summe dieser k; Funktionen gleich einer ganzen Zahl.