Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

230 Fünfter Hauptteil.
Mithin drücken sich die Werte von Q, welche durch einfache
Quadratwurzeln dargestellt werden, auch durch die Gröfsen t aus,
von denen jede von einer Gleichung fünften Grades und zwei Gleichungen zweiten Grades abilängt. Diese Identität dürfte man bei
Anwendung der später angegebenen Werte von jp nicht leicht nachträglich beweisen können.
545.
Will man jetzt den Faktor zehnten Grades haben, welcher alle
Wurzeln der Periode 9 enthält, so hat man nur das Produkt zu
bilden:
x5(y t)(y - tV)(y - tVII) (- _ tX)(y - tXVI)
worin y =X,- ist. Stellen wir die Entwicklung dieses Produkts
durch
x(y5 - 5 aJ +,y3 - yq2 + ay- e)
dar, so haben wir zunächst:
a c -Q.
Ferner erhalten wir aus den Werten:
t = r + r40, tIV = r16 +.r25 tvmII = r10 + r31 tXII - r4 -+ r37
tXVI _ r8 + -r23
die folgenden Gleichungen:,- (tt v) + S(ttVII) 1 -- 1+ Q '
y == SS(ttIVtvIII) + S(ttIVtXII) _ - 2 - ^ + ~
S= t tIv tvmIII t) -_ 3 _- " 3
- t t IV t V XII t t XVI - 1 -.
Mithiii ist das gesuchte Polynom zehnten Grades:
(X2 + i)5 -- Qx( + 1) (1 - + - "')x(x + 1)3
+ ( + -')x (2 + + + l) - ( - 1)x5.
Diese Funktion giebt im Verein mit den vier andern, die daraus
entstehen, wenn man jeden Buchstaben Q um eine Stelle vorriiken
läfst, die vier Faktoren, deren Produkt gleich X ist. Auf diese
Weise ist also die Gleichung vierzigsten Grades X= 0 unmittelbar
in vier andere vom zehnten Grade zerlegt, deren Koefficienten nur
von den durch einfache Ausziehung von Quadratwurzeln bestimmten
Gröfsen O abhängen.