Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 229
Dieses Resultat hätte man auch direkt mittelst der Formel in No. 517
erhalten können; man findet dasselbe in der Tafel der No. 522.
Kennt man eine Wurzel Q dieser Gleichung, so erhält man die
drei andern in der einfachsten Weise durch die Formeln:, 2 1, " 2
Q 2-e - 1-+- —, =2 —.
Ubrigens läfst sich die in Rede stehende Gleichung in zwei
Gleichungen zweiten Grades zerlegen, und zwar sind dieselben, wenn
man,a == 141 setzt,
2 - {Q&(a -1) +- -(a-5) 0
2+ t Q(.+1)- (.+5)=öo
und hieraus ergiebt sich:
O'~i 4 4 i 4" 4
l ~+i-l)+ - /2a2"+ -10a.
Die angenäherten numerischen Werte sind:
a= 6,40312423809
1/2a- 10 - 4,23895713816
j/2 c2 + 10 = 12,08433872337
- 00,29104177498
'= 1,17030362132
=" = 2,410520344065
Q"' =- 4,871865820365.
Mit Hlülfe der Kettenbrüche würde man die folgenden Werte, die
sich aus einander ableiten und nahezu ebenso angernähert sind, wie
die vorstehenden, finden:
5065, 34806, 29741,,, 24676
17403 = 29741 Q 12338 - 5065
Es ist bemerkenswert, dafs man die Wurzeln Q, ', Q", Q"' aus
den oben für t, t', t",.. gefundenen Werten erhalten kann. Man
hat nämlich:
0 =t + tlv + tvIII+ tXII + tXVI
o t + tv + tI + tXII tXVI
= t + tVI + tx + tXIV + txV
Q "= t tI t + + XIX.