Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 227
in 2 Faktoren vom Grade 20
in 4 Faktoren vom Grade 10
in 5 Faktoren vom Grade 8
in 10 Faktoren vom Grade 4
in 20 Faktoren vom Grade 2.
Wir wollen diese verschiedenen Fälle entwickeln.
Nach den vorhergehenden Rechnungen sind die zwanzig Faktoren zweiten Grades:
T =x2 - tx + 1
1' = x2 -t'x + 1
= X2 - -X + i
T" =x2 t"x + 1
TXIX= X2 - tXIXX+ 1.
Durch Multiplikation der beiden Faktoren T und TX bildet man den
Faktor Q vom vierten Grade; ebenso erhält man durch Multiplikation
der beiden Faktoren T' und TXI den Faktor Q' u.. w. bis zum
Faktor QIX, so dafs die zehn Faktoren Q, Q', Q",... QX folgendermafsen ausgedrückt werden:
Q - (X2 + 1)2 _- x(x2 + 1)q + qVIIIx
Q' = (x + 1)2 _ (x2 + 1)q' + qI x
Q" = (x2 + 1)2 - x(x2 1)q" + qX2
QIX= (x2 + 1)2 x(x2 + 1)qIX+ qvv x2.
Die Faktoren achten Grades werden gebildet durch Multiplikation
zweier Faktoren vierten Grades von der Art wie
P =QQ= Q ' Q = Q', PQ Qp (Q VJI p"'= OVIII Q', PIV= QIV QIX
Man erhält auf diese Weise:
p - (x2 + 1)4 -- (X2 + 1)3(q + qV) + X2(X2 + 1l)2(q'" + qVIII + V)
-X (X2 + 1) (q q" + q VVIII) + x4 q"', qVI
Werden in diesem Ausdrucke zunächst die Koefficienten auf die
lineare Form gebracht und sodann durch die Wurzeln p ausgedrückt,
so erhält man, da sich aus dein Werte des Faktors P sogleich die
vier andern ergeben, das System dieser Faktoren in folgender Form:
15 *