Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

10 Vierter Hauptteil.
oder:
x -- c /a (- t + t a3 -+ b )
mithin:
z> a4 b4 c.
Geht man also von der Gleichung x3 + y3 - zu der transformierten Gleichung a3 + b3 == ca über, so ist die Zahl c, welche
durch z' dargestellt werden kann, viel kleiner als z. Aus demselben
Grunde erhalt lman aus dem Kubus cu oder z'3 einen dritteln Kubus
z3 von der Beschaffenheit, dafs "s bedeutend kleiner ist als z', und
so weiter ins Unendliche. Eine Reihe abnelhmender ganzer Zahlen, z', z",. kalnn aber unmöglich ins Unendliche fortgehen. Mithin
kann die Formel 2p(p2 +- 3q2) in demi Falle, wo p nicht durch 3 teilbar ist, keinen Kubus darstellen.
332.
Zweiter 'Fall. Ist p durch 3 teilbar, und setzt man ) o 3r, so
geht die Formel 2p(2p1 + 3q2) über in 18r(q -+- 3 r2). Da nunl die
Faktoren 18r und q2 -+ 3r2 prim zu einander sind, so nmuls jeder
von ihnen ein Kubus sein. Setzt man also:
2 + 3 r2 - ('2 + 3,2)3
oder:
q + r V- 3 = (/f-+ g /- 1)3<
wodurch sich
q /: -- 9fg~
r;= - 3t's# - 3jg
ergiebt, so hat manl nur noch zu bewirken, dafs 18r oder
27 2g(f ) (' - g) ein Kubus werde. Daraus folgt wie oben:
f + y —aC, a /'-g = -b, 2g - C3,
und somit:
a3 - b3 - c3.
Man sieht also, dafs, wenn der Kubus z3 gleich der Summe oder
Differenz zweier Kuben x + y3 ist, es einen anderen viel kleineren
Kubus c3 giebt, welcher gleichfalls die Differenz zweier Kuben a --- b3 ist.
Ich sage, dals cG viel kleiner ist als Z3; in der That geben die
vorstehenden Werte:
z = 3abc (at -t ab +t b6),
und somit:
z > 3a4b4c.