Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

226 Fünfter Hanptteil.
1. Lösung:
2cos 4 q 44 q -- - 2 —) - 4'- -4p"
2. Lösung:,, 1,, 1/-7,-7,,,
2cos i i q _- " /q" +4 44 -41
2 cos0 = 2
3. Lösung:
4r1 1 1,
4. LIosung. q 2-1)"-2,2),2 42,, -4, 1
2 cos 41 — 2 q - 2 -q 4q
3. Lösung:
30, i 0. _ A =o i-1 P -4_p' -41)
2 cos ^^== q2- 4q
Eine einzige von diesen Lösungen genügt, umn alle Wurzeln der
Gleichung X= 0 zu erhalten. Denn setzt man z. B.
r- cos C - + /- 1 sin 41
so erhält man, aus dieser Wurzel alle andern durch die aufeinanderfolgeldenl Potenzen r2, 3,... r40.
543.
Wir wollen jetzt zusehen, welchen Vorteil diese Untersuchung gewilährt, wenn es gilt, die Funktion X vom n-1ten
Grade in Faktoren zu zerlegen, deren Grade Teiler von
n - 1 sild.
Will man die Funktion X nur in zwei Faktoren vom Grade
m = -} ( -- 1) zerlegen, so braucht man 4X nur auf die Form
Y2 + nZ2 zu bringen, nämlich auf die Form y Y2 - nZ2, wenn n
von der Form 4i - 1, und auf die Form Y2 - nZ2, wenn n voln
der Form 4i + 1 ist. Nur in diesem letzteren Falle sind die Faktorenl gmtcn Grades reell, da 4X = (Y+ Z/n) (Y -- Z]/') ist.
Allgemein kann man, weiinn n - 1 = mzk gesetzt wird, das Polynom
X vom Grade m1k in k Polynome vom Grade m zerlegen. Dies giebt
so viel imögliche Zerlegungen, als es Arten giebt, die Zahl n - 1 als
Plrodukt zweier Faktoren darzustellen.
In dem Beispiele, mit dem wir uns beschäftigen und in welchema
n 1- = 40 = 23.5 ist, kann man dlas Polynomi X vom 40)te Grade
auf fiiünf verschiedene Arten zerlegen, nämlich: