Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 225
Wir bemerken ferner, dafs sich unter den Gleichungen, welche
je zwei der zwanzig Werte von t bestimmen, die Gleichung
t2 _- "t t q=
findet, aus der man die folgenden beiden Werte erhält:
Nach dem vorstehenden Resultate mufs aber q eine der beiden Zahlen
2,357...., 0,705.... und q" eine der beiden Zahlen 3,0769....,
- 1,8606.... sein. Somit kann man nur folgende vier Annahmen
1 achen:
i q =2,3573430658 Iq = 2,3573430658
q" =3,0769019087 q" — - 1,8606144049!q =, 0,7051960138 Vq - 0,7051960138
- 3,0769019087 1q" - 1,8606144049.
Die zweite Annahme kann nicht stattfinden, weil die daraus sieh
ergebenden Werte von t imaginär sein würden. Die dritte Annahme
kann ebenfalls nicht gelten, weil sich daraus ein Wert von t ergäbe,
der gröfser als 2 wäre, und der somit nicht, wie es sein mufs, durch
2 cos co dargestellt werden könnte. Man hat daher nur die Werte
von t zu berechnen, welche sich aus der ersten und vierten Annahme
ergeben. Diese Werte sind:
Bei der,. Annahme I t- 1,6358587205 = 2 cos (350 7' 19", 0244)
Bt --- 1,4410431882 -2 cos (430 54' 8", 7804)
Bei der Anah t = - 0,52996300385= 2 cos(105 21'57",07311)
t 1,33065140105 2cos(131~42'26",34157).
Nun hat man aber:
--- 35 7' 19",02439, 41 43~54' 8",78049
24o 130,,
41 = 105021'57,07317, = 131~42'26, 34146.
41 ~ 41
Mithin kann man hieraus schliefsen, dafs die vier bei unsern
beiden Annahmen gefundenen Werte von t genau gleich 2 cos 41
L1O 247 307
2 cos —, 2 cos 41 2 cos -- sein würden, wenn man in den
41 41 / 41 '
Formeln die genauen Werte der Wurzeln p, p ", ip", v p substituiert
häitte. Daraus ergeben sich die folgenden vier Lösungen:
Leg enedr, Zahlentheorie II. 15