Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

224 Fünfter Hauptteil.
alle unter einander verschieden sind, stellen die vollständige Reihe
t, t', t,.. tXIX dar.
Die Zahl 20, welche aus den drei Faktoren 5. 22 zusammengesetzt ist, erklärt sich in natürlicher Weise durch die fünf Werte
von p, welche aus der Gleichung (A) sich ergeben, durch die zwei
Werte von q, die man aus der Gleichung q2 - pq + p' +- p- = 0
erhält, und durch die zwei Werte von t, die aus der Gleichung
t2 qt +- qvII 0 entspringen.
542.
Will man nur das schliefsliche Resultat haben, sei es, um sämtliche Wurzeln der Gleichung X = 0 zu erhalten, oder sei es, um die
Peripherie des Kreises in n gleiche Teile zu teilen, so kann man die
soeben angeführten Schwierigkeiten gröfstenteils vermeiden, und man
bedarf nur einen kleinen Anzahl von Versuchen, um zu einer oder
mehreren Lösungen in der einfachsten Form, deren sie fähig sind,
zu gelangen. Wir wollen dies an dem Falle n = 41 erläutern.
Zunächst mufs man den angenäherten Wert einer Wurzel der
Gleichung suchen und sodann aus dieser Wurzel, welche mit p bezeichnet sei, die vier andern, welche wir p', p p", p genannt
haben, bestimmen. Das Resultat dieser Rechnung, für welche wir
oben die erforderlichen Formeln angegeben haben, ist folgendes:
Angenäherte Werte der Wurzeln. Logarithmen derselben.
p = 3,0625390796 0,48608163926
=p -= 0,4461014296 9,6494332150
- 1,2162875038 0,08503624496
p'"= - 1,1958668406 0,0776828238
pIv 4,5290611724 0,6560081866
Mittelst dieser Wurzeln berechnet man die Werte von q und qv,
ebenso die von q" und qvn, nämlich:
q und qVnach der Formel:
t ~/1- { 2,3573430658
^ - - p - P4 S t 0,7051960138,
q" und qVII nach der Formel:
1,, 1 2 -- f 3,0769019087
2 4 12 — 1,8606144049.