Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 223
27 18,
q = 2 cos 41 + 2 cos 41
26 + 127Z
q = 2 cos 1 0- 2 cos 4
q - 2 cos -4T- 2 cos 41
U. S. w.
Geht man sodann von den aus vier Gliedern bestehenden Perioden
zu den Perioden von zwei Gliedern, die wir mit t bezeichnet haben,
iber, so erhält man für die letzteren die sehr einfachen Werte:
22 18v
t — 2 cos 4 tX 2 cos
26 7v 12 7v
t' =2 cos -4, tI 2 cos -
2 O txI 87v
t"= - 2 cos t, II 2 cos
41 41
u. s. w.
Nimmt man nun für diese Gröfsen die angenäherten Werte, mit
den ihnen zukommenden Vorzeichen versehen, so ist bei der Auflösung
der quadratischen Gleichungen, welche die verschiedenen Werte von
q und t geben, keine Zweideutigkeit mehr zu befürchten.
541.
Man erkennt übrigens a priori den Grund, warum die allgemeine
Lösung so vielen Zweideutigkeiten unterliegt, selbst wenn man sich
aller Hülfsmittel bedient, welche die Methode, um aus einer gegebenen
Periode alle andern von derselben Gliederzahl abzuleiten, an die Hand
giebt. Derselbe besteht darin, dafs die allgemeine Lösung gilt, welches auch der Wert der ganzen Zahl k sein möge; und da diese
Zahl alle Werte von 1 bis n - 1 annehmen kann, so ist klar, dafs
jede Veränderung des Wertes von k die Reihenfolge der aus einer
und derselben Anzahl von Gliedern bestehenden Perioden verändern mufs.
So kann man bei dem Beispiel n -1 =40, mit dem wir uns
beschäftigen, für Ac vierzig verschiedene Werte nehmen; unter diesen
giebt es je zwei, welche dieselben Werte von t hervorbringen,
da der Wert t -2 cos -- sich nicht ändert, wenn man n - k für
s setzt. Man mufs daher für eine und dieselbe Wurzel t", in welcher
a konstant ist, 20 verschiedene Werte finden, und diese 20 Werte, die