Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

222 Fünfter Hauptteil.
substituieren kann. Auf diese Weise erhält man vier Gleichungen,
mittelst deren man q', q", q', qIV durch die Potenzen von q ohne
jede Zweideutigkeit ausdrücken kann. Dadurch werden zugleich die
andern Wurzeln qv, qvI,... qIX mitbestimmt.
540.
Ist daher zwischen den beiden Wurzeln der Gleichung
q2 -Pq + p' +p" =0
die Bestimmung, welches der Wert von q sein solle, getroffen, so
werden alle andern Gröfsen q', q",... bekannt und eindeutig gegeben
sein. Geht man sodann von den Perioden q mit vier Gliedern zu
den zweigliedrigen Perioden t über, welche durch zehn Gleichungen
vom zweiten Grade bestimmt werden, so tritt eine erste Zweideutigkeit, die sich nicht umgehen läfst, bei dem Werte von t auf, da man
für diese die eine der beiden Wurzeln der Gleichung
t2 - qt + qIII - 0,
und zwar gleichgültig welche, nehmen kann. Sodann aber läfst sich
jede Zweideutigkeit bei der Bestimmung der 19 andern WVurzeln
t', t",... tXIX vermeiden, wenn man sich desselben Verfahrens bedient,
welches wir bei den Wurzeln q', q",... qIx angegeben haben. Indessen
sind die hierzu erforderlichen Rechnungen von einer abschreckenden
Länge, und es liegt allerdings darin ein Mangel der soeben entwickelten
Methode, dafs sie kein einfaches, aus demselben Gebiet der Analysis
herrührendes Hülfsmittel an die Hand giebt, um jede Zweideutigkeit
bei der Bestimmung der Perioden, welche aus den Perioden höherer
Ordnung abgeleitet sind, zu beseitigen. Gauss, der Begründer dieser
Methode, hat selbst diesen Übelstand gefühlt und, um demselben abzuhelfen, vorgeschlagen, dafs man sich der, aus einer Tafel der natürlichen Sinus zu entnehmeenen, Näherungswerte der verschiedenen Glieder,
welche man sucht, bedienen solle. So hat man in unserm. Beispiele
2kt 2kZ
r= cos 41 + /-l sin 41
also allgemein:
rq + --- -- 2 cos-.
Setzt man der Kürze wegen k =, so ergiebt sich:
2az
ra + n-= cos 41a
Mit Hülfe dieser Formel lassen sich die Gröfsen q, q',... auf eine
sehr einfache und bestimmte Weise folgendermafsen ausdrlicken: