Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 219
Mittelst dieser Gleichungen lassen sich die Werte von p', p, p", pV
leicht durch p ausdrücken, wodurch man ziemlich schnell zu der gesuchten Gleichung fünften Grades gelangt.
Verbindet man nämlich den Wert von p2 mit der Gleichung:
0 = 1 + 1) +p" +~ +P, I
so ergiebt sich zunächst:
P2 + 2 - 6 = )' - 21Iv.
Multipliciert man jede Seite mit p1 und substituiert dann auf der
rechten Seite die linearen Werte von pp' und )ppIV, so folgt:
p3 + 2p2 _ 13p - 4 - 4p' + "'.
Multipliciert man diese wiederum mit p und führt die analogen Vereinfachungen aus, so erhält man:
2" + 2j 23 - 13p2 - 8p + 6 3p 3 1.
Wird auch diese noch mit p multipliciert, so entsteht:
5 2P) - 13- 3 - 8P2 - 3p + 6 6p" + 3pIV.
Aus diesen Gleichungen ergeben sich zwei Werte für 9p1I. Setzt
man dieselben einander gleich, so ergiebt sich die gesuchte Gleichung:
P5 +- 1 - 16p3 + 5p2 + 21p -9 =0. (A)
Dieselbe würde man direkt aus den Formeln des Artikel 503
gefunden haben. Diese nämlichen Gleichungen ergeben die Werte
von p',, p', 2p1V v ausgedrückt als Funktionen von p, wie folgt:
9p' 2p1 + 2 - 2p3-29p2) + 10p + 12
9i)" = 14 + 4p13 - 10p2 - 34p + 6
9" = — _ 4 - 71)3 + 58p'2 + 19p - 60
9P1V P 4 -+ p3a -19p2 _ 4p + 33
oder einfacher:
3
3+'ß - 1 -210 + -
3p" -= 3 2p2 -13+-5 + -
12
3p" -- S- 2p2 +- 13p + - 8
3pIV -2 - 3p + 4 + 3
Um eine Vorstellung von diesen Werten zu geben, setzen wir die
Näherungswerte dieser Wurzeln her, wobei wir mit p die gröfste der
positiven Wurzeln bezeichnen: