Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 217
q = 1_ (-ß 4).
Kennt man die Werte von q und q', so liefert die Gleichung
t2 -qt +t q'= 0,
27 8,r
welche die Gröfsen t 2 cos -7 tI- 2 cos - = 2 sin zu
Wurzeln hat, die Werte:
cos 17 =-4 j+q 4 g q4 / 16 (~-+P
sin =ff -q -- - (- -4q '= - + 3)(aSomit erhält man mittelst der Ausziehung von drei Quadratwurzeln
den Wert von 2 sin -J34 welcher die Seite des regulären Polygons
von 34 Seiten, und den Wert von 2(1 - cos welcher das Quadrat der Seite des regulären Polygons von 17 Seiten darstellt. Zu
gleicher Zeit ergiebt sich aus der Formel x = cos 2 + /- L sin 27
eine Wurzel der Gleichung X - 0, welche dann zur Bestimmung
aller andern dient.
536.
Handelte es sich darum, die Gleichung x257 - 1 = 0 aufzulösen
oder den Kreisumfang in 257 gleiche Teile zu teilen, so würde diese
Aufgabe kaum schwieriger sein, wie die soeben gelöste; man wirde
nur vier Gleichungen zweiten Grades mehr aufzulösen haben, so dafs
sich ein reguläres Polygon von 257 Seiten einem Kreise in elementargeometrischer Weise ebenso gut einschreiben läfst, wie ein solches
von 17 Seiten. Ebenso verhält es sich mit dem regulären Polygon
von 216 + 1 oder 65537 Seiten, das sich ebenfalls auf elementare
Weise konstruieren läfst. Dasselbe gilt von den Polygonen von 216
und von 216 - 1 Seiten, da
216 = 1 (28 1)(28 + 1) =255.257 = 15*17-257
ist.
Wenn man nämlich auf einem gegebenen Kreise C den Bogen,
1 1
welcher gleich 15 C, und den Bogen, welcher gleich -1 C ist, konstruieren kann, so ist ihre Differenz gleich -25 C, und die Hälfte
dieser Differenz giebt den Bogen, welcher 2 C ist. Kennt man
- - -~ ~~~~255