Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Sätze über die Potenzen der Zahlen. 9
oder:
X=P+q-q, _yP-q,
so erhält mau nach Einsetzung dieser Werte:
2p (p2 + 3q2) -= z
Ferner beachte man, dafs, weil p + q und p - q ungerade sein müssen,
die eine der beiden Zahlen p und q gerade, die andere ungerade sein
mulfs, so dafs also p2 + 3q2 stets ungerade ist. Da aber 2p (p2 + 3q2)
ein Kubus sein soll, so mufs offenbar 2p durch 8 teilbar und somit
p gerade und q ungerade sein. Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem p durch 3 teilbar ist oder nicht.
331.
Er ster Fall. Ist p nicht durch 3 teilbar, so sind die Faktoren
2p und p2 + 3q 2 priln zu einander, und es muts somit jeder von ihnen,
wenn ihr Produkt ein Kubus ist, ebenfalls ein solcher sein. Ist deminach pp2 + 3q"- r3, so ist r von der Form m' -+ 3n2 und man
kann setzen:
2, + q V- =3 = (,l + 1/- -S)
Dies giebt:
p — = ma 9 m n 2
q = 3m23 -- 3n3.
Diese Werte genüigen der Gleichung p2 + 3y = r'; sie besitzen
aber auch alle erforderliche Allgemeinheit, wovon man sich durch
direkte Auflösung dieser Gleichung überzeugen kann. Es bleibt daher
lnur noch zu bewirken, dafs 2p oder 2m(m n + 3n)(m- - 3n ) ein
Kubus werde. Nun ist leicht zu sehen, dafs die drei Faktoren dieses
Ausdrucks prim zu einander sind, und somit jeder von ihnen ein
Kubus sein mulf. Ist demnach:,m -+- 3n == a', m -- 3n == b3, 2m = C3,
so erh:ält man:
63 + — = c3.
Wenn also die Gleichung x3 + y =- z in ganzen Zahlen möglich
ist, so sieht man, ldafs auch die Gleichung a3 - b3 - c3, welche der
ersteren ähnlich, aber in viel kleineren Zahlen ausge(drückt ist, möglich sein mufs.
Nun giiebt die Substitution der vorstehenden Werte:
S 373 3 ( G16 t 3b3 + b
^ 3 b3 c3 - -