Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

216 Fünfter Hauptteil.
Endlich folgt aus diesen:
p = 4 cos 6wo cos 7o + 4 cos 3c cos 12 c
p = 4 cos co cos 4 c- + 4 cos 2 o cos 9 o.
535.
Diese Formeln gelten, ohne dafs lk ein besonderer Wert beigelegt
2z
würde. Setzt man kc 1, so wird co= - -, und man erkennt unmittelbar und ohne Rechnung, dafs q und q' positiv, q" und q"'
dagegen negativ sind. Zugleich hat man:
3z 5z 6z 7z
p- 4cos cos 4cos s -4c cos,2r 8,r 7 4:7
p2= 4 cos -1 cos --- 4cos 17 cos 17
und diese Formeln zeigen, dafs p positiv und p' negativ ist. Diese
Andeutungen reichen aus, um die Lösung so einzurichten, dafs jede
Zweideutigkeit vermieden wird.
Da nämlich p und p' die Wurzeln der Gleichung p2 +p-4 —0
sind, so erhält man:
1 1
-= 4 i 2 2 7
Da ferner die Gleichung q2 -pq - 1 =0 die Gröfsen q und q'
zu Wurzeln hat, so folgt:
q = P + 21 12
-P - 21/2+ 4-.
Setzt man zur Abkürzung:
a= /17, ß7 112e - 2a,
so wird:
a =- (oc-1 + ß), q = 4a-l- ß).
Was q' anlangt, welches positiv sein mufs, so kann man dasselbe
aus der Gleichung q2 - 'q - 1 = 0 ableiten, welche giebt:
odpe'+ r:2+1 = ~ [- a- 1 + VS/2+ 2s]
oder: