Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 213, =q q [q = (1: 12) r -+ri2
- "+= (8: 5) = r8 - r5
q' -'- IV, = (2 11) = r2 + rT
p' — q' q~v_= (3 10) - r3 + r0.. q, t q" =(4: 9) r4 r9
P -q -qV = (6: 7)= r +r7.
Man findet ferner die Produkte:
qq",= q_ qV p q'I, qV p'
Daher sind
q und q"' die Wurzeln der Gleichung: q2 -pq + )-p 0
q' und qIv ~ " " " 2 pq +p = 0
C" und qV, 2 - p q - 2 -- = 0.
Ferner sieht man leicht, dafs, wenn man für p" die negative Wurzel
der Gleichung (A) nimmt, die Gleichung q2 -Sq +p)"=,= 0 die beiden
Wurzeln q = 2 cos -, q" - 2 cos -3 besitzt. Aus der positiven
Wurzel q dieser Gleichung bildet man dann eine Wurzel der Gleichung
X= 0,O nämlich:
r -- cos + - l sin -,
~~13 ~ 13
und diese ergiebt sodann alle andern durch ihre aufeinanderfolgenden
Potenzen r, r2, r3,... r12
Handelt es sich nur um die Teilung des Kreises in 13 gleiche
2~v
Teile, so braucht man nur die Wurzel q = 2 cos 13 zu kennen, die
man, in Übereinstimmung mit der allgemeinen Theorie, aus der Auflösung der Gleichung (A) vom dritten Grade und derjenigen der
Gleichung zweiten Grades q2 -pq + p-i' O erhält.
533.
Viertes Beispiel. n 17.
Der primitiven Wurzel g = 3 gemäfs, welche der Gleichung
8 + 1- = U(17)
genügt, müssen die Potenzen von r, welche die Wurzeln der Gleichung
X = 0 sind, nach der Reihenfolge der Exponenten
1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11; 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6
geordnet werden. Diese Wurzeln zerfallen in zwei Perioden (8: 1)