Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

212 Fünfter Hauptteil.
532.
Drittes Beispiel. -- 13.
Mittelst der primitiven Wurzel g = 2, welche der Gleichung g6 = - 1
oder g6 + 1 -= 3J(13) genügt, bildet man die Reihe der Exponenten
von r in der Anordnung 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, welche
zugleich diejenige der den Wurzeln der Gleichung X = 0 gleichen
Potenzen ist. Diese Wurzeln, in Zwischenräumen von je dreien genommen, bilden drei Perioden von vier Gliedern, die wir, indem wir
uns darauf beschränken, die Exponenten der in ihnen auftretenden
Potenzen von r anzugeben, folgendermafsen bezeichnen:
p = (4:1)=(1, 8, 12, 5)
p'= (4: 2) (2, 3, 11, 10)
p"=-(4:4)=(4, 6, 9, 7).
Hieraus folgt nach dem Satze des Artikel 500:
P' =P + 2' + = - 1+p'
p2 4 p'+2-+ 2 3- + p -p+.
Jede dieser Gleichungen liefert zwei andere; indessen braucht man
dieselben nur mit der gewöhnlichen Gleichung 0 = 1 + 2, + -) + 2'
zu verbinden, um die Gleichung zu erhalten:
p3 + p2 _ 4- - = O. (A)
Diese Gleichung dient zur Bestimmung der drei Wurzeln pi p', p".
Kennt man eine dieser Wurzeln, welche mit p bezeichnet werden
möge, so findet man die beiden andern unmittelbar aus den Formeln:
P = - 2 - 2 p2
i i -p
1" t -1 t- 2 - 3.
P =2
Jetzt müssen wir wieder jede Periode von vier Gliedern in zwei
andere von zwei Gliedern zerlegen, nämlich*):
*) Bei der Bezeichnung der Indices von q wird man dieselbe Reihenfolge
bemerken, die man angewendet haben würde, wenn man in der alle Wurzeln
enthaltenden Periode (12: 1) oder (1, 2, 4, 8,... 10, 7) die Glieder in Zwischenräumen von je sechsen genommen hätte, wodurch die Reihe der Perioden von
zwei Gliedern q = (1: 12), q' - (2: 11),.. entstanden wäre. Es liegt daher
keine Willkür in dieser Bezeichnung. Anm. d. Verf.