Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 3. Anwendung der Theorie auf numerische Beispiele. 211
Hieraus leitet man alle diejenigen ab, welche die Produkte von zwei
Dimensionen durch lineare Werte ausdrücken, nämlich:
p2 = 2+11, pj) j =p +, 1212 P r+Pl
=2 -- p p ' + J, 1122pI p + pIV+
ff9. r\ i /// rr rrr!rr \! t fV fi
p -=2 p,2 p p p = _, ppv=p _ p
p"'2 2 + 1) V " / 2IVTV +1r l '" +1)'
= 2 + = +,IVP TV I 4IV-p _ ^
Aus diesen Formeln ergeben sich die Werte von vier Wurzeln ausgedrückt als Funktionen der fünften, nämlich:
p' =p2 - 2
p" — 4 - 41)2 +- 2
1' =1 - ^
p" 1)..3
pIV_ pj - 5- 3 -q- 5^1.
Substituiert man diese Werte in die Gleichung
= - - 1 +P + 2+I+ 2" + PIV
so erhält man die Gleichung fünften Grades:
+ 4 - 4,)3 3- 2 + 3p + 1 = 0, (A)
deren Wurzeln gleich
2ir 47 5, 37 r
2 cos 2 cos- - 2 cos - -2 cos- — 2 -2cos
sein müssen. Die gröfste der beiden positiven Wurzeln dieser Glei2,r
chung stellt daher den Wert von 2 cos -- dar. Aus diesem ergiebt
sich die Wurzel:
2,r —.,. 27
r cos -- CO +V sin 2 —,
und hieraus erhält man wieder die neun andern Wurzeln der Gleichung X = 0.
Wir haben, um zu vorstehendem Resultat zu gelangen, die allgemeine Methode angewendet; man würde aber einfacher dazu gelangt
sein, wenn man in der Gleichung X==0 die Substitution x2 - 1 =-px
gemacht hätte.
Bisher ist es nicht recht ersichtlich geworden, worin der Vorteil
der neuen Methode bei der Auflösung der Gleichung xn - 1 = 0
besteht. Dieser Vorteil wird sich aber bei den folgenden Beispielen
deutlicher zeigen.
14'