Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

210 Fünfter Hauptteil.
Sodann bestimmen sich die fünf andern Wurzeln der Gleichung
X = 0 durch die aufeinanderfolgenden Potenzen r2, r3 r4, r, r6.
Kennt man eine Wurzel der Gleichung (A), und bezeichnet man
dieselbe durch p, so erhält man die andern mittelst einer rationalen
Formel, wie folgt:
p"_p-2 2 - +
p-= 1 -S )2 = p — 1-{-
Dies stimmt mit den trigonometrischen Werten dieser Wurzeln überein.
Übrigens ist diese Lösung für den Fall n 7 vollständig derjenigen analog, die man mittelst der gewöhnlichen Methoden erhalten
würde. Da nämlich die Gleichung X= 0 zu denen gehört, welche
man reciproke nennt, oder in denen man - für x setzen kann, so
läfst sich dieselbe durch die Substitution x2 + = zx auf den dritten
Grad zurückführen, und zwar wird sie:
Z + sZ - 2z - 1 = 0.
Dies ist dieselbe Gleichung wie (A). Von derselben haben wir oben
in No. 105 die numerische Auflösung mittelst der Kettenbrüche gegeben.
531.
Zweites Beispiel. n 11.
Wir nehmen in diesem Falle die primitive Wurzel g = 2, welche
der Gleichung g = - 1 genügt, und bilden mittelst der Potenzen
von 2 die Reihe der zehn Wurzeln der Gleichung X =- 0, wodurch
wir die Periode
(10: 1) oder (1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6)
erhalten. Diese Periode zerfällt in fünf andere von zwei Gliedern,
nämlich:
p =r +rio
p' = r2 + r9
p'"= r3 - rs
p"= =r3 + r8
pIV_ r5 + r6,
und diese Werte geben unmittelbar die Gleichungen:
p 2 +P p', pp=, pp+p p+ pIV
--, P P ' —P-{-, -=- p-p +~