Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

8 Vierter Hauptteil.
hin ist es unmöglich, dafs die Formel x' -- 2y4 eine Quadratzahl darstelle, es müfste denn y = 0 sein.
Zusatz. Aus diesem Satze folgt, dafs auch x - 8y' keine Quadratz ahl sein kann. Denn hätte matn x4 - 8y4 = SZ, so würde daraus
folgen, dafs 4 +- 2 (2xy)4 gleich dem Quadrate (x' +- 8 y4)2 wäre, was
nur stattfinden kann, wenn y = 0 ist.
329.
Satz 4. Keine Trigonalzahl, mit Ausnahme von 1, ist
ein Biquadrat.
Ist, falls dies möglich wäre, -x (+x + 1) = y4 oder x (x + 1)
= 2y4, und setzt Iman y =mn, wo m und n zwei unbestimrmte Zahlen
sind, so läfst sich diese Gleichung nur auf eine der beiden folgenden
Arten zerlegen:
u) x+e1e(1) (2) x+ =
+ _ 1 X li
und diese geben entwecer 1 ==n -- 2)m' oder 1 -== 2m —.
Die zweite Kombination erg:äbe ms - 11=z- (m' - 1)2, eine Gleichung, welche unmöglich ist, da1 die linke Seite die Form p4 qbesitzt, und diese keine Quadratzahl darstellen kann, aulser in dem
evidenten Falle t =- 1 =- x.
Die erste Kombination ergiebt die Gleichung 1 -+ 2m4 -- 4, welche
ebenfalls unmöglich ist, weil nach dein vorhergehenden Satze die
linke Seite keine Quadcratzahl sein kann. Mitlint ist keine T'rigonalzahl aulser 1 ein Biquadrat.
3a0.
Satz 5. Die Summe oder Differenz zweier Kuben kann
keinem Kubus gleich sein.
Ist, falls dies möglich wäre, x' + ya =- za, so kann man wie
gewöhnlich annehmen, dafs die beiden Zahlen x und y primi zu einander sind. Alsdann sind auch y und z und ebenso x und z zu einander prim. Dies vorausgeschickt, sind von den drei Zahlen z, y, s
stets zwei ungerade und eine gerade. Sind x und y die beiden ungeraden, welche man immer auf dieselbe Seite der Gleichung bringen
kann, und setzt man:
x -- 2 = 2P, x + y = 2q