Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung kten Grades für die Werte k =-2, 3, 4, 5. 203
Sucht man endlich zwei lineare Werte für das Produkt ppp"', indem
man einmal pp' mit p"', das andere Mal pp"' mit p' multipliciert,
so führt die Vergleichung der beiden Ausdrücke zu einer neuen Bedingungsgleichung, nämlich:
A'C'= - AB + (A + B - D)- + ) 2 - CD + D2 - C - D.
Andere Versuche, die wir durch Vergleichung der Werte der Produkte von vier Buchstaben angestellt haben, haben kein Resultat
weiter ergeben. Demnach haben wir zur Bestimmung der sechs Unbekannten A, B, C, D, A', C', nur die beiden vorstehenden Gleichungen und die beiden früher gefundenen, wodurch die Aufgabe
ziemlich unbestimmt bleibt. Jedoch werden wir sehen, dafs man,
wenn man die beiden letzten Gleichungen auf eine geeignete Form
bringt, aus ihnen entweder eine bestimmte Lösung der Aufgabe oder
zwei Lösungen ableiten kann, deren Unterschied nur auf der Menge
der Werte, welche für die primitive Wurzel g genommen werden
dürfen, beruht, aber keinen Einflufs übt auf die Koefficienten der
Gleichung in p.
526.
Wir haben noch die Koefficienten R und Q dieser Gleichung zu
bestimmen. Zu dem Zwecke nehmen wir den oben für p2p'" gefundenen Wert wieder auf und bringen denselben auf die Form:
Bö'p"= M + M Ip + Mlji'+ M"'i"y
Dabei ist gesetzt:
M = C2 + CD - D (A + B) = C2 + 3 CD + D2 - mD
M' A' (B - C) + (A - G) (A - D) + C2- BC - C
" = (A - D) (B - D) - (C- D)2
I"'= C' (B - C) + A (C - D) + D (D - B).
Multipliciert man den Wert von ppip" mit p"', und wendet man das
Zeichen S auf beide Seiten an, so findet man:
S(ppip'i"') oder R- =- M + (M' + M"+ JI"') (-. m,,).
Die Gleichung
vP Y'= N + ~5, + n''+ ~"5,"
-pp"-P M+ M'p + xy+ Mjr
aber giebt:
S(pp'p") = M -- M' - " - M1"' nC - mn2;
mithin:
M'+ "l+ M"'- = 5M1- n1 + m2,
folglich:
B = mn (C + D) - (C2 + 3CD + -J2)'- m.