Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

202 Fünfter Hauptteil.
Durch ein ähnliches Verfahren findet man:
S(p2p') -= A -n m2 S(2,p") = n - m2
S(pp'2) = - m2, S(pp"2) C= n' - 2.
Hiernach gehen die allgemeinen Werte von pp' und pp" über in:
pp = Ap + Bp' + Cp + D2" + CpI
l)"S= A'p + Cfy + Ci" '+ Dp/"'+ D2V,
so dafs also nur noch sechs unbestimmte Koefficienten A, B, C7, A', C'
übrig bleiben, zwischen denen überdies noch die beiden Gleichungen
bestehen:
A+B- +- 2C+ D= n
A+ C'+ C + 2 D= m.
Da man S(pp'p") == nC - nm und S(ppp"') = nD -- gefunden
hat, und die Summe dieser beiden Gröfsen gerade die Summe der
Produkte von je drei Wurzeln p darstellt, so hat man ferner die
Gleichung:
= n (C + D) -2 n2.
525.
Um nun andere Beziehungen zwischen den noch zu bestimmenden Koefficienten aufzufinden, bringe ich zunächst den Wert von pp'
auf die folgende Form:
s'p = - C + (A - C) + (B - C) + (D - C) 1"'.
Multipliciert man sodann beiderseits mit p", und ersetzt darauf die
Produkte dpp", up", p " durch ihre linearen Werte, so erhält man:
ppS'p= C- " + (A - C) (A2P + Cp' - C + C'p" + I" + 1))
+ (B - C) (Ap' + Bp"+ " + + Dp2IV + Cp)
+ () - C) (A+" Bp"'+ CpIV + Dp) + Cp').
Ebenso erhält man, wenn man den Wert von pp" mrit p multipliciert:
ppI"= - Cp + (A - C) (Ap + Bp'+ Cp" + Dp"' + CpIV)
+ (B - C)(A'p + Cp + C(p"+- Dp'"+ Dp'v)
+ (D - C) (ApI+ Bp + Cp + Dp" + Cy"').
Vergleicht man diese beiden Werte, so findet man, dafs die Koefficienten von p', p"', pIV identisch sind, und dafs die beiden andern
zu derselben Bedingungsgleichung führen, nämlich:
(A- B) A'= C2 - C (A + 2B - D + 1) + A2 + BD - 2.