Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgemu. Bildung der Gleichung lten Grades für die Werte k-=2, 3, 4, 5. 199
sich auf die schon gefundene Gleichung
4 +_3 - 3p2 + (4- 2 - nC)p + 4 2 - - ) 0
reduciert.
522.
Kennt man eine Wurzel dieser Gleichung, welche p heifsen möge,
so läfst sich eine jede der drei andern Wurzeln p', p", p"' ausdrücken
durch eine Funktion von der Form ra + ßp + yp2 + Jp3. Im gegenwärtigen Falle aber erhält man einen noch einfacheren Ausdruck
dieser Wurzeln mit Hiilfe der folgenden Formeln, welche sich aus
den bewiesenen Formeln ergeben:
i -C +(A -- C)p
p p+C-B
P p+2C-p
-" -C+(B-C)p
- pjc-A
Was die in diesen Formeln vorkommenden Werte von A und B betrifft, so ergeben sich dieselben aus den Gleichungen:
A =-C +b, B = C+6b.
Nimmt man in diesen Werten von den doppelten Vorzeichen die
oberen oder unteren, so bewirkt diese Veränderung der Vorzeichen
nur, dafs sich A in B und gleichzeitig p' in p"' verwandelt. Man
kann also für jede Zahl n = -8u + 1 eine Gleichung vierten Grades
von der Beschaffenheit bilden, dafs die Kettenbruchentwicklung der
einen Wurzel zugleich die Entwicklung der drei andern Wurzeln
liefert. Eine Tafel dieser Gleichungen für alle Primzahlen von der
Form 8$t + 1, welche kleiner sind als 100, ist die folgende:
n Gleichung in p C A, B
17 =p -+p3 - 6p2- 1+ 1 1 2, 0
41 0 =p4 + P3- 15p2 + 18p - 4 2 4, 2
73 0 - p4 + p3- 27p2 - 41p + 16 5 6, 2
89 0 =p4 +-p3 - 33p2 + 39p + 8 5 8, 4
97 0 -= 4 + p - 36p + 91p - 61 5 8, 6