Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung ktenGrades für dieWerte k=2, 3, 4,5. 197
pp' = Ap + Bp' + Cp" + Cp"'
ps=- c0+ ( - 2C) (p + ).
Aus der zweiten Gleichung leitet man den Wert von p'p"' her; multipliciert man denselben mit dem Werte von pp", so ergiebt sich
Ppp' p oder:
= C2 + C( -- 2 C) + (e - 2C)2 S(pp'),
und da S(pp') - m ist, so wird:
== C2 + ( - 2C) - 2 (L - 2C)2
oder:
1 _
= — 4 -n(- I)2
Die Gleichung, welche die vier Werte von p zu Wurzeln hat, ist also:
S. +p 2- 3v2" + (42 - nC)p + ~ 2 - n(C- t)2 ) 0.
Es ist daher nur noch die in den Koefficienten vorkommende
Gröfse C zu bestimmen.
520.
Multiplicieren wir zu diesem Zwecke den Wert von pp" mit p',
und setzen wir die linearen Ausdrücke für pp' und p'p" ein, so erhalten wir:
p"p = " -- Cp' + 2 (6 - 2C)2p' - 2C(61 - 2C)
+ (R - 2C) (A - C)p + (l - 2C) (B - C)p".
Multiplicieren wir ferner auf beiden Seiten mit p"', und reducieren
wir sodann die rechte Seite auf lineare Glieder, so folgt:
pp'"p' " [2(' -- 2C)2 - C] [C(P + p) + () + - C) (' + P"")
+ ( - 2C) (A - C) (Ap"' + Bp + Cp' + Cp")
+ (Ö - 2C) (B - C) (Ap" + + OBp; + Cp + ')
- 2C( -- 2C)p'.
Da die linke Seite eine symmetrische Funktion von p, p', p", p"' ist,
so mufs sich die rechte Seite auf die Form 1I (p +p' + p" + '")
oder - 32 bringen lassen. Dadurch ergeben sich drei Gleichungen,
welche zu der einen Bedingung
(A - C)2 + (B - C)2=
führen. Und da ferner
A+ B+ 2C=2,u
ist, so ergeben diese beiden Gleichungen eine dritte:
n = (8C - 4x - 1)2 + 16(B + C - /)2.