Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Sätze über die Potenzen der Zahlen. 7
zahl c" kleiner als j/c', aber verschieden von Null ist, u.. s.w. Dies enthält aber einen Widerspruch, da eine Reihe ganzer Zahlen c, c', c"., —
von denen jede kleiner als die vierte Wurzel aus der vorhergehenden
und von Null verschieden ist, nicht ins Unendliche fortgesetzt werden
kann. Mithin kann sich unmöglich eine Quadratzahl in zwei Biquadrate
zerlegen lassen.
Zusatz. Derselbe Beweis zeigt, dafs die Formel nm - 4n14
keine Q uadratzahl darstellen kann, wofern nicht n ==0 ist.
328.
Satz 3. Die Formel x' + 2y'1 kann keine Quadratzahl
darstellen, wofern nicht y — 0 ist.
Dernn wäre x 4- 2 y4 =z 2, so iiüfste mcan zunäichst setzen:
s-p2 -+ 22, x2 =p22 - 22, y2 - 2pq.
Sodann folgt aus der Gleichung x" =-p2 22q
x == ^- 2 n2, p = -m + 2n2, q = 2m) n.
Werden diese Werte in die Gleichung y- = 2pq eingesetzt, so ergiebt sich:
y2 == 4 n (mn2 + 2 2).
U1m dieser Gleichung zu genugen, beachte man, clafs die Zahlen
m und n prirm zu einander sind; delnn hätten sie einen gemeinschaftlichen Teiler, so würden p und q und somit autch x und y ebenfalls
einen solchen haben, was man nicht anzunehmen braucht. Wenn demnach m n (m2 +- 2n2) eine Quadratzahl ist, so mufs jeder der drei
Faktoren m,,, n2 + 2 n2 eine Quadratzahl sein. Ist also /-=f2, n= (g
so bleibt nur noch zu bewirken, dafs auch / -- 2g4 eine Quadrlatzahl sei.
Diese F'ormiel hat eine der gegebenen ähnliche Gestalt; dieselbe
ist aber offenbar in viel kleineren Zahlen ausgedrückt, da x4 +- 2y4 >p4
und somit
p oder f/ + 2 4 < /x + 2y4
ist. Inm Übrigen ist keine der Zahlen f und g gleich 0; denn wäre
dies der Fall, so würde y gleich 0 werden, was wir ausgeschlossen
haben. Wenn es daher eine Quadratzahl A2 von der Form x- + 2y4
giebt, so läfst sich daraus eine zweite Quadratzahl A'" herleiten, welche
dieselbe Form besitzt, und deren Grundzahl A' < /A ist. Aus demselben Grunde aber folgt aus der Quadratzahl A'2 eine dritte A"2
von derselben Form, u. s. f. Nun kann aber eine Reihe abnehmender ganzer Zahlen A, A, A"... nicht ins Unendliche fortgehen; mit