Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

196 Fünfter Hauptteil.
519.
Stellen wir jetzt durch
p4 + + p2 - Qp + X = o
die Gleichung dar, deren Wurzeln py p, p", p" sind, so hat man
offenbar:
P= S(pp') + S(pp") - I = - 3t.
Um in ähnlicher Weise den Koefficienten Q zu finden, bemerke
ich, dafs dieser Koefficient, welcher gleich
ppP + P'p"P' + p2p p + -P'pp
ist, durch das eine Glied S(pp'p") dargestellt wird. Bringt man nun
den Wert von pp' auf die Form:
pp'= - C+ (A - C)p + (B - C)p' + (D - C)p"
und multipliciert sodann jede Seite mit p", so erhält man:
ppp = - Cp' + (A - C)pp + (B - C)'p"p + (D - C))p "'
Diese Gleichung liefert noch drei andere ähnliche Gleichungen. Die
Summe dieser vier Gleichungen giebt den Wert von S(pp'p") oder:
Q - CS(p") + (A - C)S(pp") + (B- C)S(ipi") + (D- C) S(p'p"').
Nun ist aber:
S(p") = S(p) --
S(pp") =S(p") = S(p"p"')= -,
mithin:
Q = c- (A + B + D - 3C) m = C - m (m - 4C) = nC — m2.
Man könnte auch den Wert von pp' auf die Form bringen:
pp = - D + (A - ))p + (B - D) p + (C- D)p",
und multipliciert man beiderseits mit p"', so erhielte man den Wert
von S(ppp"') oder Q = nD - m2. Folglich ist:
D -- C.
Einen dritten Wert des Koefficienten Q kann man aus dem Produkte pp" welches sich auf die Form
pp" - - G + (F - G) (p + p")
bringen läfst, ableiten. Multipliciert man beiderseits mit p', bildet
sodann die drei andern analogen Produkte und addiert alle vier, so
ergiebt sich ihre Summe Q = n G - m2. Folglich ist:
G=C.
Vermöge dieser Resultate gehen die Werte der Produkte pp,
pp" über in: