Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung kten Grades für die Werte k = 2, 3, 4, 5. 195
Hieraus ergiebt sich für die Summe der Produkte zweier benachbarten Glieder:
-S(pp') = (A -+ B + C+ D) (p + ' + p " + p ) = - m.
Um in ähnlicher Weise die Summe der Produkte von zwei nicht
benachbarten Gliedern zu erhalten, bemerke ich, dafs man dem Satze
in Artikel 500 zufolge hat:
pp= —(m: 1 +g2) + (m: 1 -gG) - (m4 1 glo) + '4- (m: 1 _+g4m-2),
und da man in der Reihe 1 -+ y2 + q6- g *. das Glied 1 + g2m
oder 1 + g4i, welches sich auf Null reduciert, nicht antrifft, so folgt,
dafs die Periode (m: 0) unter den m Perioden, welche den Wert von
pp" bilden, ebenfalls nicht vorkommt. Man kann daher
pp"= Fp + G2' - H+ 2 + Jp"'
setzen, wo F, G, H, J positive ganze Zahlen sind, deren Summe
F+ G + H4- J m
ist. Hieraus folgt, wenn man die Buchstaben p um eine Stelle vorrücken läfst,
p'p"'= Fp2' Gi'S4- Hp"- + Jp.
Läfst man auch in dieser Formel die Buchstaben p um eine
Stelle vorrücken, so entsteht:
p"p = Fp"+ Gp"'+ Hp + Jp'.
Durch Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem zuerst für pp" angenommenen erhält man lH = F, J = G. Mithin werden die beiden
Produkte pp", pp"' folgendermafsen ausgedrückt:
pp" =F(p + ) + G(' + p')
p'"' =F(p'+ p"') + G(p"+ p)
und zu gleicher Zeit ist:
1
F+ G = m=-.
Bezeichnen wir wie gewöhnlich durch S(pp') die Summe der
vier Werte, welche pp" annimmt, wenn man jeden der Faktoren
dieses Produkts den vollständigen Cyklus der Werte von p durchlaufen läfst, so wird diese Summe gleich - m, gleichwie S(pp').
Da aber die nämlichen Glieder zweimal darin vorkommen, so ergiebt sich:
pp" p+p"= S(pp") - -2 = -.
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