Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

194 Fünfter Hauptteil.
so erhält man auf eine einzige Weise n = a2 + 16b2. Dadurch ergiebt sich:
- 4t+ 1 +a
und die gesuchte Gleichung wird:
p4 +_p3 3p2 + +(42 - nC)p + o2 n( - c) 0.
2) Ist m ungerade, und setzt man mn=2-t+1 oder n-= 8-+ 5,
so kann man nur auf eine einzige Weise der Gleichung n =c-2 - 4b2
genügen. Dadurch ergiebt sich:
4C +l+a
und die gesuchte Gleichung wird:
P4 +)3 + ( L + 1)p2 + (i2 - ()p + (1 - )2_ (C - t+2 = 0.
518.
Da der zweite Fall kaum einer Anwendung fähig sein dürfte,
weil die Gleichung vierten Grades in diesem Falle vier imaginäre
Wurzeln besitzt, so beschränken wir uns darauf, die auf den ersten
Fall bezügliche Gleichung zu beweisen, da diese Gleichung stets vier
reelle Wurzeln hat.
In diesem Falle genügt die primitive Wurzel g stets der Gleichung:
g2n = - 1,
und da?,p'= (m: 1 + g) + (in: l + g5) + (i: 1 + g,) + + 4 + (. + ",-3)
ist, so ist ersichtlich, dafs keines der Glieder 1 -g, 1 +g 1 +g'9,..
gleich Null sein kann, und dafs somit die Periode (in: 0), deren Wert
gleich m ist, nicht unter den rn Perioden, welche den Wert von pp'
bilden, enthalten ist. Demgemäfs setzen wir:
pp'= Ap + Bp' + Cp" + Dp"',
wo A, B C, D positive ganze Zahlen bedeuten, deren Summe
A + B + C + D=in
ist. Diese Gleichung und die drei aus ihr entstehenden analogen
Gleichungen geben die Produkte von je zwei aufeinanderfolgenden
Gliedern der Reihe p, p', p, p",, nämlich:
pp' = Ap + -' p+ Cp + p Dp'"
p'p = Ap' + Bp" + Cp"' + Dp."p'= Ap" + Bp" + C + Dp
p)p =) A"+ B + p + p + p + Dp