Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung ktn Grades für dieWerte k7=2, 3, 4, 5. 193
Man sieht hieraus, dafs, wenn die eine Wurzel durch einen Kettenbruch dargestellt ist, derselbe zur unmittelbaren Bestimmung der
beiden andern Wurzeln dient, und dafs es somit unendlich viele
Gleichungen dritten Grades giebt, welche diese Eigenschaft besitzen.
Wir haben bereits in Artikel 105 für den Fall n = 7 ein Beispiel
einer solchen Gleichung gegeben.
516.
Sind die drei Wurzeln p, p', '" gefunden, so läfst sich das Polynom X in drei Faktoren
P + Qp+ Rp', P + Qp + p", + Qp" + Rp
zerlegen, in denen P, Q, R Polynome in x mit ganzzahligen Koefficienten bezeichnen, und zwar das erstere vom Grade m, die beiden
andern von niedrigerem Grade. Die Polynome werden nach der in
No. 504 angegebenen Methode bestimmt; sie müssen allgemein der
Gleichung genügen:
4 Xm2 4 7 3
3P - Q- X= 27 X= 3- + xm-1 + x71 - 2 + --?713 +..
in welcher man die Brüche ebenso wie in No. 511 wegschafft.
So erhält man z. B. für den Fall n 19,
P-= x- + 24- 2x3 + 2X2 + 1
Q = - - 2x3 - x
I — x - - - x2.
517.
Dritter Fall. n = 4i +- 1, k - 4.
In diesem Falle handelt es sich darum, die Gleichung vierten
Grades zu bilden, welche die Perioden (n: 1), (: g), (m g2),
(m': g3) zu Wurzeln hat. Wir bezeichnen dieselben respektive durch
p, P', Y p", p' und die entwickelten Werte derselben sind:.p - (1t) + (g4) + (98) +.. + (g4n- 4)
' = ( () + (g5) + ( + g +. + (yln-3)
1)" (g) + (g6) + (g10) +... + (g4-2)
p"' (g3) + (g7) + (all) + + (g4tl-1).
Wir müssen zwei Fälle unterscheiden, je nachdem m gerade
oder ungerade ist.
1) Ist mi gerade, und setzt man In = 2g oder n == 8 + 1,
Legendre, Zahlentheorie II. 13