Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

192 Fünfter Hauptteil.
oder 4n = a2 +- 27b2. Ist aber zweitens ß nicht durch 3 teilbar, so
mufs, da a nie durch 3 teilbar sein kann, eine der beiden Zahlen
a -+ 3, a - ß durch 3 teilbar sein. Bringt man nun 4n auf die
Form (ao+3)2+3(ao+ )2, so kann man a -+3/ a, a 3+ß=-3b
setzen, wodurch man ebenfalls 4n =a2 "- 27b2 erält, und ferner
sieht man, dafs 4n nur einmal von dieser Form sein kann.
Hiernach hat man:
C- - +, A-1 +Ä;
und es wird:
pp'="- C2 AB = 2 C- (m - C)2 + b,
nithin:
(3C-m) (C + n) + b2 _ nC- m 2
4 3.
und dieser Wert ist, obwohl er in gebrochener Form erscheint stets
eine ganze Zahl. Die gesuchte Gleichung ist also allgemein:
21)3 + )2 _- 1) + 1 (.2l _- nC) -= 0.
515.
Ist z. B. n 991, so ist m = 330, 4n- 612 + 27 32, und
daher:
a =- 61, C -9 117, (nC- m2) = 2349.
In ähnlicher Weise findet man für die Primzahlen unter 100 die
folgenden Resultate:
n =7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 97
m = 2, 4, 6, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 32
Q 1, -1, 7, 8, -11, -8, 9, -5, 27, 79.
Auf diese Weise bildet man also beliebig viele Gleichungen
von der Form:
p3 ~2 - p - Q = 0
deren Eigenschaft darin besteht, dafs, wenn eine Wurzel
derselben bekannt ist und mit p bezeichnet wird, die beiden
andern 2', p" durch die Formeln gegeben werden:
-c+(A-C)p
1 2 p+c-B
-- - C+ (B - C)p
p C ---- A