Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung ktel Grades für die Werte — 2,3, 4, 5. 191
g3,i = -1 oder g 3,1 + 1 == -J (n)
ist, wo g = - m, und somit nicht gleichzeitig g3 i-= - 1 sein kann.
Es enthält daher der Wert des Produkts pp' nicht die Periode (m: 0).
Derselbe mufs sich also auf die Form bringen lassen:
pp = Ap B + Cp + ",
in welcher A, B, C positive ganze Zahlen von der Beschaffenheit
sind, dafs ihre Summe
A + B + C= m
ist. Aus diesem Werte leitet man die Werte der beiden andern
Produkte her, nämlich:
p'p" = Ap + Bp" + Cp
p"p =Ap" + Bp +Cp',
und da die Summe dieser drei Produkte gleich
(A + B + CB ) (p + p' + p") = - m
ist, so hat man:
P = - m.
Um das Produkt p'p" zu erhalten, bringen wir pp' auf die Form:
pp' = - C + (A - C)p + (B - C)p'.
Multipliciert man sodann auf beiden Seiten mit p" und setzt die
Werte von pp" und p'p" ein, so ergiebt sich:
pp2" — = - Cp" + (A- C) (Ap" + Bp + C01)
+ (B -C) (Ap2' + Bi" + Cp).
Da die linke Seite eine symmetrische Funktion von p, p', p" ist, so
mufs auch die rechte Seite eine solche sein; dieselbe mufs sich demnach auf die Form M(p -+p' +p") und im Weiteren auf -M reducieren. Daraus folgt die Bedingung:
A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA =- C
und diese giebt, mit der Gleichung A+ B + C-= m verbunden, das
Resultat:
4n - (9C-n -- 1)2 + 27(A - B)2.
514.
Diese Gleichung bestimmt vollständig den Koefficienten C und
ebenso A - B. Denn da n eine Primzahl von der Form 3m + 1
ist, so kann man immer n = a2 -- 3P2 setzen. Ist nun erstens p durch
3 teilbar, und setzt man / = 3y, so erhält man 4n = (2a)2 + 27(2p)2