Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgem. Bildung der Gleichung k7tel Grades für die Werte k= 2, 3, 4, 5. 189
(x- 1) 2 = 4(x- 1)n,
folglich:
Y2 = 4(x - l)2"n, und Y= 2(x - 1)7.
Mithin hat man allgemein:
uM — -n —i) ( xm-2) x_ -
Y-== 2x" - 2m 1l+. 2n ^-2 2 ( 2)( 2) -3 (2
und in dieser Entwicklung hat man nur noch die Koefficienten unter
- n herabzudrücken, indem man die möglicherweise darin enthal2
tenen Vielfachen von n wegläfst. Hierdurch wird z. B. der Koeffieient des zweiten Gliedes - 2mn auf + 1, der des dritten auf 3
reduciert u. s. w.
Eine Bemerkung, welche der entwickelte Wert von Y liefert,
besteht darin, dafs keiner der Koefficienten desselben gleich Null ist,
da n unter den Faktoren des Produkts m(in -- 1) ( - 2)... nicht
vorkommen kann. Demnach besitzt das Polynom Y vom Grade m
stets n +- 1 Glieder. Dies ist nicht ebenso der Fall bei dem Polynome Z, welches vom (m - 1)te Grade ist, und in welchem mehrere
Glieder fehlen können.
Eine Tafel, in welcher man die Werte der Polynome Y und Z
für alle Primzahlen von 3 bis 29 findet, ist die folgende:
n Werte der Polynome Y und Z.
3 Y-2x + 1, Z==- 1 Y= x+ 2, Z= x
5) Y 2x2+x+2
Z x
7 Y=2x3 + x2 - x -2
Z=- x2 x
11 Y== 2x + X- -- 2X3 + 2x2 - x - 2
Z- x4+x
13 Y = 2x6 + x- + 4x4 - x3 + 4x2 + x + 2
Z= X5 + XX3 X
1 Y= 2x8 + X7 + 5 x + 7 x + 4x4 + 7 x + 52 5x+ + 2
Z= x7 + X(; + x5 + 2x4 + x3 - x2 + x