Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgemn. Bildung der Gleichung k7ten Grades für die Werte k = 2, 3, 4, 5. 187
2) Ist n von der Form 4i + 1, so ergeben sich die Werte
von p und p' aus denselben Formeln, wenn man darin einfach das
Vorzeichen von n ändert. Man erhält daher in diesem Falle:
4X (2P - Q -)2 - n(Q - )2.
Hieraus ergiebt sich der folgende bemerkenswerte Satz:
Ist n eine beliebige Primzahl und X der Quotient, welcher sieh bei der Division von xn-1 durch x-1 ergiebt, so
kann man stets zwei Polynome Y und Z finden, welche der
Gleichung 4X = Y2 + nZ2 genügen, wo das obere Zeichen
gilt, falls n von der Form 4i 3, das untere, falls n von
der Form 4i - 1 ist.
Im ersten Falle läfst sich das Polynom 4X in zwei imaginäre
Faktoren (Y+ Z/- n) (Y- Z/- n/), im zweit en dagegen in zwei
reelle Faktoren (Y + Z V/n ) (Y - Z / ) zerlegen.
Der Beweis dieses Satzes dürfte ohne die Hülfe der unbestimmten
Analysis sehr schwierig sein. Man erkennt hieraus, dafs diese Art
von Analysis nicht auf Untersuchungen über die Eigenschaften der
Zahlen beschränkt ist, sondern dafs sie auch der Vervollkommnung
der algebraischen Analysis förderlich sein kann.
511.
Weifs man a priori, dafs die Funktion 4X auf die Form y2 + - nZ
gebracht werden kann, so ist es leicht, die Werte der Polynome
Y und Z in den verschiedenen Fällen zu bestimmen. Zu
diesem Zwecke sieht man zunächst, dafs, wenn die Vielfachen von n
weggelassen werden, = 4X wird. Um daher den Wert von Y
zu erhalten, inufs man aus 4X die Quadratwurzel ziehen. Dies giebt
die beiden ersten Glieder 2xm" + x"-1. Die weitere Berechnung
geschieht so, dafs man zu den ersten Gliedern der Reste passende
Vielfache von n addiert, damit alle Glieder der Wurzel ganzzahlige
und möglichst kleine Koeffieenten erhalten. Kennt man Y, so ergiebt
4X- Y2
sich Z aus der Gleichung Z2 4 -, wobei die Rechnung
ohne jede Vernachlässigung ausgeführt wird. Übrigens besteht ein
Verfahren, um die soeben angegebene Operation bedeutend
zu vereinfachen, in Folgendem.
Wirft man die Vielfachen von n ab, so hat man:
Yr= 2/X und X x - 1 (1 -—.,
"~f~'= ~l ~l- (ly~iX