Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 2. Allgemn. Bildung der Gleichung ztenl Grades für die Werte k = 2, 3, 4, 5. 185
sodann:
pp' = (m: 1 + y) + (vm: 1 +- g) + (m: 1 + g5) +... — (n:l + - g2m ).
Da sich alle Perioden von der Form (nm:a) auf die beiden (m: l) und
(mn:g) zurückführen lassen, wozu man noch den Ausdruck (m:O),
welcher nicht eigentlich eine Periode, dessen Wert vielmehr gleich m
ist, hinzufügen mufs, so folgt daraus, dafs der Wert des Produktes
pp' sich auf die Form bringen läfst:
pp' = Am A 'p + A"p',
in welcher
A +- A' + A"= m
ist, weil }m die Anzahl der den Wert von pp' bildenden Perioden
(m1:l + g), (m: 1 +- g3), (n: 1 - g5),... (}m: 1 + g2"-1) ist. Da ferner
in dieser Gleichung die Gröfsen p und p' mit einander vertauscht
werden können, so hat man A' A", mithini:
pp' = A - A'
und
A + 2A = -m.
Wir müssen jetzt zwei Fälle unterscheiden, je nachdem m gerade
oder ungerade ist.
Es sei zuerst m ungerade. Da stets gy =- 1 d. h.
"I -- 1 = J (n) ist, so mufs es in der Reihe 1 + g, l +g3,
1 + g5,.. "1 - g2"1-1 notwendig ein Glied geben, welches gleich Null
ist, und zwar nur ein solches, wegen der besonderen Bedeutung der
Zahl g. Man hat also in diesem Falle A == 1 und A' (m -1),
folglich:
PP = (m + 1).
Ist zweitens m gerade, so hat man ebenfalls gl - 1, und
daher giebt es in der Reihe +- g, 1 + g3, 1 - g5,.. kein Glied,
welches gleich Null wäre. Es ist daher A = 0, A' = 2nm, und, 1
pp=.-.m.
Hierfalls unerade oder n von der Form ist, die foGleichung, welche p und p zu Wurzeln hat,
falls m ungerade oder n von der Form 4i'- 3 ist, die folgende:
P2 + P + + ( ) - 0,
und falls m gerade oder n von der Form 4 i + t ist, die folgende ist:
p22 - - -2 = 0.