Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 183
Koefficienten drücken sich, ebenso wie die Funktion (p, in linearer
Weise durch die Perioden (m:c), (m:ag),... d. h. durch die bereits
bekannten Wurzeln der Gleichung kten Grades aus.
2) Die Gleichung desselben Grades k, welche die Teilperioden
(in': ag), (m': agh), (m':ag2),..., aus denen sich die Gesamtperiode
(mn:cg) zusammensetzt, zu Wurzeln hat, leitet man unmittelbar aus
dieser Gleichung, deren Bildung wir soeben angegeben haben, ab,
indem man in dieser einfach ag an die Stelle von ca setzt, d. h. indemr in dem Ausdruck eines jeden Koefficienten die Gröfsen (m:a),
(m:cg), m:acg2),... um eine Stelle vorrückt, so dafs man, wenn diese
letzteren durch p, p', p",... bezeichnet werden, den Index jedes
Gliedes um eine Einheit erhöht, wobei noch zu beachten, dafs durch
diese Erhöhung das letzte Glied p(k-1) gleich dem ersten p wird.
In analoger Weise bildet man die Gleichungen für die Teilperioden, welche aus der Zerlegung der anderen Perioden (in:ag2),
(m': a3), u. s. w. entspringen.
3) Schliefslich braucht man nur eine einzige von diesen Gleichungen kten Grades aufzulösen, oder sogar nur eine einzige Wurzel
dieser Gleichung zn kennen. Denn mit Hülfe dieser Wurzel und
ihrer Potenzen kann man alle andern Wurzeln bestimmen, was ebenso
wie in No. 503 bewiesen wird. Wir gehen indessen auf die Einzelheiten dieses Beweises nicht ein, sondern beschränken uns darauf,
weiter unten tRechnungsbeispiele, welche denselben ersetzen, anzuführen.
508.
Hat man die Gleichungen vom Grade k', welche die in jeder
Periode von im Gliedern enthaltenen Perioden von it' Gliedern zu
Wurzeln haben, gebildet, so bleibt noch zu zeigen iibrig, auf welche
Weise man für jede dieser Gleichungen den entsprechenden
Faktor der Gleichung X 0 findet.
Bezeichnen wir durch
x' - Ax^'-1 t Bx?,-2 - Cx^'-3 q+.. 0
die Gleichung n'ten Grades, welche die verschiedenen, die Periode
(n':a) bildenden Glieder (a), (ah'), (ah7'),... zu Wurzeln hat, so ist
die Summe der Wurzeln (in':o) oder abgekürzt qa, die Summe ihrer
Quadrate gleich (n':2a) oder q2, die Summe ihrer Kuben (m': 3a)
oder q3a u. s. w. Da diese Summen bekannt sind, weil dies mit
sämtlichen Perioden q der Fall ist, so ergeben sich daraus die Werte
der Koefficienten A, B, C,... mittelst der Gleichungen: