Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

182 Fünf'ter Hlauptteil.
Ä'(n:ca) ab rechnet, immer von k zu k Gliedern statt. Nennen wir
daher B' die Sumnme der Koefficienten der Periode (i;:a), B" die
Summe der Koefficienten der Periode (n:oag), u. s. w., so erhalt man
durch eine Reihe von höchstens 1k +- 1 Gliedern die gesuchte Summe:
S(c) == Am + B'(m:a) + B"(:yag) + "n'(nm:yg2) +.
506.
Dieses.Iesultat, welches für jede gegebene ganze rationale
Funktion cp der Gröfsen i, s, 'u, v,... oder einiger von ihnen statt
findet, gilt umsomehr in dem Falle, wo 9p eine symmetrische Funktion
der k' Gröfsen t, s, u, v,... ist. Denn alsdann besteht die Vertauschung, durch welche diese Gröfsen in t', s', ', v,... üibergehen,
darin, dafs jede der Gröfsen t., s, *I, v,... um eine Stelle vorrückt,
so dafs t in s, s in u, u' in v, und so weiter übergeht bis zur letzten,
welche ihrerseits sich in die erste t verwandelt. Durch diese Vertauschung bleibt aber die Funktion ~p stets dieselbe, so dafs man
q = ' = - )" -=.. und somit S(qp) = k'9 erhält. Man mufs delmnach den für S(9p) gefundenen Wert durch k' dividieren; indessen
kann man in diesem Falle den Wert von gp auch unmittelbar finden.
Setzt manl nämlich in dem Werte:
-= Am;+ A '(m':c ) -+- A"(n':ag) -- A"'(mn':~g2) +alh oder agk an die Stelle von ~, so mufs dieser Wert ungeändert
bleiben, es müssen demnach offenbar alle in dieser Formel enthaltenen Glieder (m':a), (m':c<ay), (m,':cg2),*.. (m':gkk '-k) denselben
Koefficienten A' haben, wie das erste Glied (m':a). In analoger
Weise ist A" der gemeinsame Koefficient aller Glieder (nm': ag),
(In:tuag k+l), (}'l:~g2k+tl), * * (m/':a gk'k~+1), welche die Periode (r:indg)
bilden, u. s. w. Mithin erhält man in dem Falle, wo 9) eine symmetrische Funktion der Ik' Wurzeln t, s,, V,... ist, einfach:
~p = Am s' + A'(m:C ) + A" (n:a g) + - A"'(m: 'cg2) + -.
und diese Reihe besitzt nicht mehr denn höchstens v -+ 1 Glieder.
507.
Hieraus folgt:
1) Wenn man die Gleichung 7Vt"e Grades bilden will, welche die
Teilperioden (m':a), (m':ah), (0m':.ha2).., aus denen die Gesaimtperiode
(m:a) zusammengesetzt ist, zu Wurzeln hat, so mufs man mit Hülfe
der vorher genannten Formeln den Wert der Koefficienten, welche
symmetrische Funktionen der Wurzeln sind, suchen. Alle diese