Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 181
auf gleichviel Glieder fortgesetzten Reihe (m':a), (m':ag), (m':ag2),...
nur durch die Wahl des ersten Gliedes, welche aber bei einer in sich
zurückkehrenden Reihe beliebig ist.
Nehmen wir jetzt an, dafs man cah an die Stelle von a setze,
und dafs durch diese Substitutionen die Gröfsen t, s,, v... in
t', S, u', v',... übergehen, so wird die hierdurch aus 9p entstandene
Funktion qp' ausgedrückt durch die Reihe:
nAm' - A'(m': a) + A" (Am'::alg) + An'(m': ag2) +.
Setzt man wiederum alh für a, wodurch die Gröfsen t', s', u', v',...
in t", s", u", v"... übergehen, so verwandelt sich die Funktion gp' in
eine neue Funktion ~p", deren Wert
Am ' + + AA'(-1 ) + A"('g) + " (: 22) + *
ist. Setzt man diese Substitutionen weiter fort, bis die Anzahl der
Funktionen (p, p', p",... gleich k' ist, so nimmt die Gröfse t allmählich alle Werte t, t',... t('-1) der Perioden von m' Gliedern,
welche die Periode (m:'a) bilden, an; die andern Gröfsen s, n, v...
durchlaufen ebenfalls denselben Cyklus, eine jede von einem verschiedenen Punkte aus, und bezeichnet man die Summe der so entstehenden Funktionen Sp mit S(g), so erhält man:
S(p) -=A Am'7v'
+- A':) + (:':1) + (':h) + ':7) -+ + (;1':ch -1)]
+ A"' l(m'': ) + (m':agh1) + (,m':igz2) +.* * + ({m': cg'-1)]
+ A"' [(m::cg2) + (rm':cg2h) +J- (:cmg2h2) +* * -+ (-: (m':c<ghZk'-1)j
+................
und dieser Ausdruck reduciert sich auf den folgenden:
S(q) = Ami + A'(n:cc + A"() + ( A'(m:ag)+...
Mithin drückt sich die Summe der Funktionen qp stets in linearer
Weise durch die Gröfsen (m:o), (nm:ag),... aus, d. h. durch die als
bekannt vorausgesetzten Wurzeln der Gleichung ktcn Grades, deren
Bildung wir gezeigt haben.
Es ist noch zu bemerken, dafs die Anzahl der Glieder, welche
in dem Werte von Sp bis zu kk'+- 1 steigen könnte, in dem Werte
von S(cp) sich auf höchstens k + 1 reduciert. Denn da es nur k verschiedene Werte für die Perioden von m Gliedern giebt, nämlich:
(m:a), (m:ag), (m:ing2),... (m:agk-), so werden die Glieder, welche
hinter diesen kämen, nämlich (mn:cag), (m:cgk+),..., wieder die
Reihe (n:a), (n:c)... ergeben, und dies findet, wenn man von