Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

180 Fünfter Hauptteil.
Polynome von niedrigerem Grade sind, deren sämtliche Koefficienten
ganze Zahlen sind.
Beachtet mlan sodann, dafs, wenn man ah für a setzt, die Periode (mn:) oder p in (n:ah) oder p', dafs ferner zu gleicher Zeit
p' in pl übergeht, und dafs somit alle diese Gröfsen um eine Stelle
vorrücken, indem die letzte durch diese Verschiebung in die erste
übergeht, so sieht man, dafs der gefundene Faktor der Gleichung X = 0 alle andern von derselben Ordnung giebt,
wenn man, um von einem Faktor zum folgenden überzugehen, die
Buchstaben p um eine Stelle vorrücken läfst. Auf diese Weise erhält
man der Reihe nach die Faktoren von X:
P+ Qp)+ -2p'+Sp"+...
P + Q2r + sp' + Sp' +..
P +l Qp" + Ip"' +- Sp+ IV
U. S. W.,
und solcher Formen giebt es k.
Mittelst derartiger Rechnungen zerlegt man die Gleichung X=O0
vom Grade n - 1 oder inv in k andere Gleichungen vom Grade m,
und zwar läfst sich dies auf soviel verschiedene Arten ausfihren, als
man die gegebene Zahl n - 1 durch das Produkt zweier Faktoren
in und k7 darzustellen im Stande ist.
505.
Wir gehen jetzt über zur weiteren Teilung der Periode
(n:Oa), welche für die Methode, die wir entwickeln, notwendig ist,
wenn man zur vollständigen Lösung der Gleichung X-=0 gelangen
will. Nehmen wir also an, dafs i = mv'k' sei, so handelt es sich
darum, die Gleichung c'ten Grades zu bilden, welche die Perioden
(mn':a), (ln:a,7h),I (min'S2)... (m':ahk'-1), in die die gegebene Periode
(in:a) zerfällt, wenn man =h g und a =gi setzt, zu Wurzeln hat.
Bezeichnen wir die Perioden (m':a), (n':ah), (n':ch2), (in':ah3),...
respektive mit t, s, u, v,..., und ist gp eine ganze rationale Funktion
der Gröfsen t, s, t, v,.... oder einiger von ihnen, so kann diese Funktion stets auf die lineare Form:
Am' + A'((m': a) + A" (n': a) -+- A"' (n': ag2) -+-.,
in welcher die Koefficienten ganze Zahlen sind, falls dies bei den
Koefficienten der Funktion qp der Fall ist, zurückgeführt werden. Man
beweist dies, wie in No. 501; denn die Reihe (mi':1), (':g), (n':g2)..,
welche bis zu kk' Gliedern fortgesetzt ist, unterscheidet sich von der