Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 179
Periode (m:a) bildet, zu Wurzeln hat, so hat man zunächst:
(A =I m:a)
und die andern Koefficienten B, C, D... dieser Gleichung lassen
sich, da sie symmetrische Funktionen der Wurzeln (a), (ah), (h72),...
sind, in linearer Weise durch die Perioden (r: 1), (n:g), (mn:g),...
oder durch die Wurzeln p, p', p",... der Gleichung (A) ausdrücken.
Das einfachste Verfahren, die in Rede stehenden Koefficienten
zu bestimmen, besteht darin, dafs man zunächst die Summe der Quadrate der Wurzeln (a), (ah),..., welche die Periode (m: a) bilden,
sodann die Summe ihrer Kuben, die Summe ihrer vierten Potenzen u. s.w.
sucht. Bezeichnen wir mit S2 die Summe der Quadrate dieser
Wurzeln, d. h. die Summe der Glieder (2a), (2ah), (20h2),... so ist
diese Summe gleich der Periode (m:20). Mithin erhält man:
2= (m:2 o:).
In analoger Weise hat man:
3=( (m:3 a), 4S = (m:4),..,
Werte, von denen jeder durch eine der Wurzeln der Gleichung (A)
gegeben wird. Aus diesen bekannten Gröfsen kann man nun leicht
die Koefficienten A, B, C, D,... ableiten mittelst der Formeln:
A =, = (in: a)
2B = AS,- S2
3C -BS, — AS2 +
4. =CS, - BS2 + AS, -S
U. S. W.
Sodann wird der Ausdruck jedes Koefficienten von B an mit Hülfe
des Satzes in Artikel 500 linear gemacht; auf diese Weise wird jeder
derselben von der Form:
a+ /2 + yp + " + *...
wo a, g, y,... ganze Zahlen und p, p', p",...p(k-1) die Wurzeln
der Gleichung (A) sind. Man kann sogar aus diesem Ausdruck
wenigstens eine der Wurzeln p fortschaffen mittelst der Gleichung:
0 = 1 +p +1 + p +..
Nachdem dieses festgestellt ist, sieht man, dafs die Gleichung
nten Grades, welche die in der Periode ('m:a) enthaltenen Glieder zu
Wurzeln hat, von der Form ist:
o = P+ Qp + Jp' + S') +...,
wobei P ein Polynom in x vore Grade mi und Q, R, S,... andere
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