Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

178 Fünfter Hauptteil.
(m:1), (M:g),... (n:gk-l) zu Wurzeln hat, in ganzen Zahlen ausdrücken. Diese Gleichung besitzt die sehr bemerkenswerte
Eigenschaft, dafs, wenn eine ihrer Wurzeln bekannt ist, alle
andern sich leicht aus dieser ableiten lassen.
Bezeichnen wir nämlich durch p, p', p",... p(k1) die Perioden
(n:a,), (m:n: g (:S2),.... (m:gk-), so erhält man, da die Summe
dieser Gröfsen dieselbe ist wie die Summe der Wurzeln der Gleichung
X = 0, nämlich gleich - 1, als erste Gleichung:
0= 1 +p + ' + p" +...
Entwickelt man sodann die aufeinanderfolgenden Potenzen p2,
p3,.., um sie auf die lineare Form zu bringen, zufolge des Satzes im
Artikel 500, so erhält man k - 1 andere Gleichungen:
p2 = a mi + a p + cb + p' + * *
p3 _ bm -- b'p + b" p - + "'" +.
2-4 cm + C'p + "p' + C"'" +* *
U. S. W.,
worin die Koefficienten positive ganze Zahlen sein müssen.
Da diese k Gleichungen die Unbekannten p', p", p"... p(.-1)
linear enthalten, so kann man mittelst der ersten k- 1 Gleichungen
die Werte dieser Unbekannten finden; dieselben sind sämtlich von
der Form:
A + A'p + A"p2 + * * + A(k-)pk-1,
worin A, A', A",... rationale Koefficienten sind.
Ferner sieht man, dafs, wenn man alle diese Werte in die letzte
Gleichung, welche den Wert von p2 giebt, einsetzt, man die Gleichung
ten Grades in p erhält, welche die k Perioden (m: 1), (n:g),... zu
Wurzeln hat. Es ist dies einer der einfachsten Wege, um zu dieser
Gleichung zu gelangen; dieselbe ist stets von der Form:
p)L + ^)l + gk2 ++ tppk-3 +.. = 0. (A)
504.
Wir müssen jetzt zeigen, dafs sich das Polynom X mit
Hüilfe der Wurzeln der Gleichung (A) in 7 Faktoren vom
Grade m zerlegen läfst.
Ist zu dem Zwecke
Xm _ Axl'-1 + Bx71-2 - Cx^ —3 +... = 0
die Gleichung mte Grades, welche die verschiedenen Glieder (a), (alt),
(C7a/2),... (ah'"t-1) deren Summe unter der rAnnahme hi =-= / die