Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 177
AÄkm + A'X(m:1) + A"X(O':g) + A"'(m':g2) + -'
In dieser Formel stellt X(m: 1) die Summe der k Perioden
(mn: 1) + (mi:g) + (nm:g2) + * + (m:"'Jk), welche gleich - 1 ist, dar.
Die anderen analogen Summen E(mn:g), E(m:g2),..., von denen jede
aus ebensoviel Perioden gebildet ist, haben sämtlich denselben Wert.
Mithin ist die Summe der Funktionen F allgemein gleich
Aki - A' - A" — A"'dieselbe ist somit stets gleich einer bestimmten ganzen Zahl.
502.
Die Eigenschaft der Wurzeln der Gleichung kten Grades,
welche die Perioden (mn:l), (m:g), (mn:2),.. liefert, ist somit
von folgender Airt: Ist eine ganze rationale Funktion Z dieser
Wurzeln oder einiger von ihnen, welche mit t, u, v,... bezeichnet
seien, gegeben, und denkt man sich, dafs die Gröfsen t, u, v,..., welche
zuerst (n:a), (m:P), (m:),... sind, bei einer ersten Substitution die
Werte (m:ag), (nm:3g), (m:yg),..., bei einer zweiten Substitution die
Werte (m:acg2), (m:/g2), (m:yg2)... und so weiter annehmen, so dafs
also nach k - 1 Substitutionen eine jede dieser G-röfsen den ganzen
Cyklus von Werten, welche jede Periode von m Gliedern annehmen
kann, durchlaufen hat, so ist die Summe aller Werte der Funktion Z
gleich einer leicht zu bestimmenden ganzen Zahl.
503.
Wenn die Funktion F der Wurzeln t, u, v,... der Gleichung
kten Grades alle Wurzeln enthält, und wenn dieselbe so beschaffen ist, dafs man darin zwei der Wurzeln beliebig iit
einander vertauschen kann, so läfst sich diese Funktion,
welche man in der Regel eine symmetrische Funktion (fonction invariable) nennt, unmittelbar bestimmen, da man alsdann, ohne
an der Funktion irgend etwas zu ändern, rg an die Stelle von r setzen
kann, und somit A'== A" = " =. ist, da der Wert
An +- A'(m: 1) 4- A"(mn:g) + A"' (:g2) -...
derselbe sein mufs wie
Am + A'(m:g) + A"(m:g2) +- A'(m:g3) +-..
Folglich reduciert sich der Wert der Funktion F auf Am-A'.
Demnach kann man mit Hülfe des Satzes in Artikel 500 leicht
die Koefficienten der Gleichung 7ten Grades, welche die Perioden
L e g e n d r e Zahlentheorie II. 12