Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Sätze über die Potenzen der Zahlen. 5
gleicher Zeit ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächeninhalt A'.3/
kleiner als / A und ebenfalls gleich einer Quadratzahl ist; jedoch
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kann dieser Flächeninhalt nicht gleich Null sein, da keine der Zahlen
f und g verschwinden kann, ohne dafs A= 0 würde.
Aus demselben Grunde kann man aber aus deni rechtwinlligen
Dreieck, dessen Flächeninhalt A' durch eine Quadratzahl ausgedrückt
wird, ein drittes Dreieck ableiten, dessen Inhalt A" kleiner als / 12 -f 128
und ebenfalls gleich einer Quadratzahl ist, und so ins Unendliche
weiter. Dies enthält aber einen Widerspruch, da eine Reihe abnehmender ganzer Zahlen A, A',,..., auch wenn dieselben keine
Quadratzahlen wären, nicht ins Unendliche verlängert werden kann.
Mithin giebt es kein rechtwinkliges Dreieck, dessen.Flächeninhalt
durch eine Quadratzahl ausgedrfickt wird.
Zusatz. Derselbe Beweis zeigt, dafs die Formel m1 - n4 keine
Quadratzahl darstellen kann, ebenso wenig die Formel f4 -- 4g,
es müfste denn, was evident ist, in der ersten n- =- n oder n = 0, in der
zweiten /' oder g gleich 0 sein.
Man kann ferner daraus schliefsen, dafs die Gl e i c u n
x -ty4=-2p2 unmöglich ist, ausgenommen den Fall x = y. Denn
aus dieser Gleichung wrwrde folgen:
4- X4 y4 - __
Wie wir aber soeben gesehen haben, krann die linke Seite keine
Quadratzahl sein.
326.
Satz 2. Die Sunmme zweier Biquadrate kann keine Quadratzahl sein, wofern nicht eins derselben gleich Null ist.
Ist, falls dies möglich ist, a4 + b" = c2, so müssen zunächst die
Gleichungen gelten:
a_ = _p q, b2 2pq, -p2 + q2
Ferner beachte man, dafs, weil a und b als relative Primzahlen
vorausgesetzt werden können, p und q gleichfalls prim zu einander
sind, und dafs sie auch nicht alle beide ungerade sein können; denn
wäre letzteres der Fall, so wirden a und b alle beide gerade sein.
Man darf jedoch auch nicht p gerade und q ungerade annehmen, weil
alsdann p2 - q von der Form 4k - 1 sein würde, welche Form das
Quadrat a2 nicht besitzen kann. Demnach mufs p ungerade und q