Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

176 Fünfter Hauptteil.
beträgt, so mufs auch die Summe der Koefficienten
A + A' + A" *- * =-
sein, wobei diese Koefficienten ganze positive Zahlen oder Null sind.
501.
Da sich das Produkt zweier Gröfsen von der Form (mn: a) stets
auf die Summe mehrerer Gröfsen derselben Art zurückführen läfst,
so ist klar, dafs sich auch das Produkt aus beliebig vielen
solchen Gröfsen und somit auch ihre Potenzen und Produkte aus diesen Potenzen irmmer auf einen solchen linearen Ausdruck wie
Am + A'(n: 1) + A"(m:g) + *,
in welchem die Koefficienten A, A', A",... positive ganze Zahlen
oder Null sind, zurückführen lassen.
Besteht demnach eine Funktion F aus mehreren solchen Gliedern wie Nt2ulWvv..., worin N eine ganze Zahl ist, und t2, v',...
irgendwelche Potenzen der Perioden t = (nm:), u = (m:ß), v= (m:y),...
bezeichnen, welche aus den 7/ die sämtlichen Wurzeln der Gleichung(
X - 0 enthaltenden Perioden von mn Gliedern nach Willkür herausgegriffen sind, so läfst sich diese Funktion ebenfalls auf die Form
Amn + A'(m: 1) + A"(m:g) +- * - bringen, in welcher die Koefficienten
A, A', A",... ganze Zahlen sind.
Wenn man sodann an Stelle von t, t, v,... die Perioden (m:ia),
(m':iß), (nm:i),..., in denen i irgend eine ganze, durch n nicht teilbare Zahl bedeutet, substituiert, so ist das Resultat gleich
Am + A'(m: i) + A"(m: ig) +-...
Denn die in Rede stehende Änderung wird ausgeführt, indem man
einfach ri für r setzt, wodurch jede durch (a) bezeichnete Wurzel in
(iZ ) übergeht.
Wir denken uns nun, dafs man t der Reihe nach alle Werte
(mn:a), (m:a'g), (m:ag2),... gebe, welche die Reihe der k/ Perioden
von m Gliedern bilden, wenn man mit dem Gliede (mn:o) anfängt,
dafs ferner gleichzeitig ue die aufeinanderfolgenden Werte (m:f),
(m':g), (mg:pg2),... und v die Werte (mr:y), (m:yg), (m:yg),... annehme u. s. w. Dadurch ergeben sich l verschiedene Resultate, in
denen jede Gröfse t, t, v,... die k verschiedenen Werte, welche die
Periode von m Gliedern besitzen kann, erhalten hat. Die Summe der
k Werte der Funktion F, welche aus allen diesen Substitutionen sich
ergeben, ist alsdann: