Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 175
Fundamentalsatz.
Sind (m:a), (nm:ß) zwei gleichartige oder aus gleichviel
Gliedern bestehende Perioden, die im Übrigen gleich oder
ungleich sein können, so erhält man, wenn man das Proiz- 1
dukt dieser beiden Perioden mit TT bezeichnet und k ==- --
h - g9t setzt,
r-= (): a + P) + (Qm:ah + p) + (mn:ah7" + P) +'. + (1:ah. ( -1 + ß3,
d. 1i. das Produkt TT ist gleich der Summe der Perioden von
derselben Art, welche die Glieder (a- +ß3), ( -z + ß), (ah +- ß),...
(ah17l- + ß) enthalten.
In der That giebt die Entwicklung der Glieder, welche in den
beiden gegebenen Perioden enthalten sind,
(m:,a) = (a) + (o7ah) + (ah72) + * * + (aw-1)
(m': () =(() + (3/h) + (3h') +. + (1/,'"-1).
Das Produkt dieser beiden Polynome kann aber zufolge der Formel
(a). (()- =( + () in folgender Weise gebildet und angeordnet
werden:
(- + a ) + ( + 3) + ((a 1 + ( ) +. + (hl"-l +- 3)
+ (,lc + f7z/) + (,a2S + ß,) + (7/,3 + /t) +... + (7,- + P/.)
4+ (rl + ) + (ahj3 + Sih) + (,ahl, + ph') +... -. 4- (c7h-, + 3- p")
4. (h,-1 + p 71 ( ',-) + (7ah, + p/^h' —1) + (a7?,'+l + p-,1,-1) +.
+ (ah/""-'+ p4,- fh').
Nimmt man die Summe der verschiedenen Vertikalkolonnen, von
denen jede eine und dieselbe Periode bildet, so erhlilt man das gesuchte Produkt:
TT = ():a + ß) + (m: ah + P) + (2m:a',2 + P) +... + (m:, h'" —( + P)
Die verschiedenen Teile, aus denen das Produkt TT besteht, reducieren sich stets entweder auf die Periode (m: 0) oder (mz: n), deren
Wert qn ist, da sie die Summe von m Gliedern, die gleich r~ oder -"
sind, darstellt, oder auf eine der Perioden (mn:1), (m:g), (m:g2). )
(m:-gl). Mithin erhäilt man allgemein:
n =- Am.l + A'(nm: ) + A"(mcz:) + A"'(m:q:2) + *.
Und da die Anzahl der in dem Produkte TT enthaltenen Perioden m