Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

174 Fünfter Hauptteil.
und hieraus folgt:
r"a = cos + - + sinll.
Dieser Wert einer der Wurzeln der Gleichung X = 0 reicht hin, um
alle andern zu finden, welche durch die Formel
x = (cos t + -~1 sin,) = cos ki: + /- 1 sin 1s,
in welcher k ein beliebiges Glied aus der Reihe 1, 2, 3,... n-1
ist, dargestellt werden. Man weifs überdies, dafs i stets ein Viel2r
faches von --- ist.
499.
Die Reihenfolge der soeben angedeuteten Operationen beruht
darauf, dafs in jeder Periode ('n:o), in welcher mn eine gerade Zahl
ist, und deren entwickelter Wert durch
(m:a ) = (a) + (a) + (g21) +... + (g -lk)-*)
dargestellt wird, neben jedem Gliede (o) stets noch das Glied (cq 2 )
auftritt. Dieses letztere ist dasselbe wie (- ), da (g, 2 )_- ist,
d. h. man findet in derselben Periode gleichzeitig die beiden Glieder
r' und r-a, welche zu einander reciprok sind. Was iber das Glied
(a) gesagt ist, gilt für jedes andere Glied der Periode, da man ein
beliebiges Glied als erstes nehmen kann. Mithin besteht jede Periode
(l:a), in welcher mn eine gerade Zahl ist, aus zwei Teilen von der
Beschaffenheit, dafs die Glieder des einen die Komplemente oder die
Reciproken zu den Gliedern des andern sind.
500.
Es ist jetzt noch zu zeigen, wie mnan die Glleichlun g,
welche zu Wurzeln die k verschiedenen durch (mi: ) bezeichneten Perioden hat, und ebenso die Gleichungen, welche zur
Bestimmung der abnehmenden Perioden (n': a), (m": a) u. s. w. dienen,
bilden kann. Es geschieht dies leicht mit Hülfe des folgenden
Satzes, welcher für diesen Zweig der Analysis von aufserordentlicher Wichtigkeit ist.:) Diese Formel, welche in der des Artikel 497 enthalten ist, kann jede
Periode derselben darstellen, die entweder direkt gebildet oder aus anderen
Perioden durch successive Zerlegungen abgeleitet ist; denn die Zahlen m und k
können sich auf mehrere Arten ändern, wofern sie nur der einen Bedingung,
dafs ihr Produkt mk c- n - 1 sei, genüigen. A nm. d. Verf.