Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 173
497.
Jedesmal wenn mn eine zusammengesetzte Zahl ist, wenn
man also m = m'k' setzen kann, läfst sich jede solche Periode von mi Gliedern, wie (m:g'), in k' durch (m':g') bezeichnete Perioden von in' Gliedern zerlegen, wobei man u
der Reihe nach alle Werte 1, 2, 3,... 7k beilegt. Man mufs sich
hierzu denken, dafs die in Glieder, welche die Periode (m:g) bilden,
narmlich
(S) + (g+k) + (q+2 ) +... + (g/+n-k),
zu je zweien genommen werden, falls k' =-2, zu je dreien, falls
k' = 3 ist, und so fort. Dies ergiebt die folgenden k' Teilperioden:
(m':g ) (g2) + (gy+k' ) + (g~2:'k) + '...' + (gi~+1k-k)'k)
(-':g +k' L g-k) - (g/+'~k-I) + (g+21' k-f).-... + ( +k-k).
Man sieht von selbst, dafs, wenn m' ebenfalls eine zusammengesetzte
Zahl ist und m' == m'V" gesetzt wird, jede Periode von in Gliedern
in k" Perioden von m" Gliedern zerlegt werden kann, und so fort,
bis das letzte Glied der abnehmenden Reihe z, n', m ",... gleich 1
ist. Für diese Grenze reduciert sich die Periode auf ein einziges
Glied, welches eine der Wurzeln der gegebenen Gleichung X= 0 ist.
498.
Da übrigens n - 1 stets eine gerade Zahl ist, so lifst sich
die Bildung der Perioden immer so einrichten, dafs die
letzten Perioden, welche zu bestimmen sind, Perioden von
zwei Gliedern sind, welche immer zwei zu einander reciproke
Wurzeln enthalten, so dafs, wenn (2:'c) eine dieser Perioden darstellt, allgemein
(2: a) = r + rn-a = r + r-a
ist. Man erlangt auf diese Weise den Vorteil, dafs man im
Laufe der Rechnung nur Gleichungen aufzulösen hat, deren
Wurzeln sämtlich reell sind. Kennt man dann schliefslich vermöge
der letzten Gleichung zum Beispiel den Wert der Periode (2: a),
welcher immer durch 2 cos,l dargestellt werden kann, so erhält man
die Gleichung:
rx +J r" -- = 2 cos,