Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

172 Fünfter Hauptteil.
496.
Diese Eigenschaften, welche sich auf die primitive Wurzel g beziehen, gelten in gleicher Weise in Bezug auf jede andere primitive
Wurzel G. Jedoch giebt uns dies sogleich eine Aufgabe zu lösen,
namlich die, zu entscheiden, ob, wenn dieselben Faktoren
m und k;, deren Produkt - 1 ist, beibehalten werden, die
k durch (m1': G) bezeichneten Perioden dieselben sind, wie
die durch (mz:gi) bezeichneten kl Perioden. Dafs letzteres in
der That der Fall ist, kann man folgendermafsen beweisen.
Wir stellen uns die Aufgabe, die beiden Perioden:
(m: g) =(g) + (g" +l) + (g-+2) + o + (gi+"k- )
(m: GL) = (6(,,) + (Gt,+k) + (Gt-+2k) +. + (G,+,,-lk-)
mit einander zu vergleichen.
Dazu bemerke ich zunächst, dafs man G = g setzen kann, wo
a eine Zahl bedeutet, welche prim zu mnz ist. Wenn man sodann
G^ _=- gS+kv oder g9^" = 2+1, erhalten wirde, so braucht man nur
der Gleichung A- = a - kv zu genügen, d. h. die gegebene Zahl a/t
um das möglicherweise in ihr enthaltene Vielfache von k zu vermindern; der Rest wird der Wert von 2 sein. Man findet also auf
diese Weise einen Wert für l von der Art, dafs die gegebene Wurzel
(G,") mit der Wurzel (gi+kV) übereinstimmt. Ebenso findet man,
dafs jede andere Wurzel (G.+hk,), welche in der Periode (m: G1)
enthalten ist, mit einer der in der Periode (m:gi) enthaltenen Wurzeln
übereinstimmt. Und da jede dieser Perioden aus einer gleichen Anzahl
von einander verschiedener Glieder besteht, so müssen, wenn zu
jedem der einen ein diesem gleiches in der andern vorkommt, notwendigerweise diese beiden Perioden einander gleich sein, gleich als
ob sie beide die Summe derselben, nur in verschiedener Reihenfolge
angeordneten, Glieder wäiren.
Wendet man dieselben Schlüsse auf die andern Werte von ut
an, so folgt daraus, dafs die k mittelst der primitiven Wurzel G
gebildeten Perioden von mv Gliedern voyn den l; analogen, mittelst
der primitiven Wurzel g gebildeten Perioden nur insofern verschieden
sind, als die Reihenfolge sowohl der Perioden unter einander, als
auch der Glieder, aus denen eine jede Periode besteht, eine andere
sein kann.