Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen T'heorie. 171
495.
Es sei 7 ein beliebiger Teiler von n- 1, welcher prim oder
nicht prim sein kann, so cafs n - 1 --- lc ist. Geht man dann aus
von einem beliebigen Gliede (gQ) der Reihe (1), (g), (y2),... (gn-2),
welche alle Wurzeln der Gleichung X 0 in sich enthält und bildet
man eine neue Reihe:
(g2), ('+~), (gi+2..k). (gi+"-9k),
so kann diese aus m Gliedern bestehende Reihe oder Periode immer
als cyklisch oder in sich selbst zurückkehrend angesehen werden, da
das Glied (gi+"'k"), welches auf das rmte Glied folgt, der Bedingungsgleichung gk =_ gn-l = 1 zufolge, gleich demi ersten Gliede (gi) ist.
Man kann A alle Werte von 1 bis k geben; auf diese
Weise erhält man 1c Perioden, von denen jede aus m Gliedern besteht.
Nennen wir allgemein (m: g) die S u mme der m Wurzeln,
welche die Periode, deren erstes Glied gc ist, bilden, so erhalten wir der Reihe nach:
(ln:g) (Y) + (gi+k) + (gl+26) + *., + y(gl+'k k)
(1: g2) = (g2) ) + (/+) + (2+k) +.... + (gi2+l-k)
(mb: 3) = (yi) + (s3 +) + (3i+") +... + (j +,i~ -)
(,m: ') - ($) + (g6k) + (3+) +..+ (yt -).
Offenbar enthalten die 17 Perioden, deren jede aus m Gliedern
besteht, sämtliche Wurzeln der Gleichung X =0 in sich, da man
in ihnen alle Glieder der Reihe (y), (g2), (g3),... (/n-1) vorfindet;
und eine ähnliche Zerlegung findet statt für alle andern Werte von
m und 7, deren Produkt mzk gleich der gegebenen Zahl n - 1 ist.
Es ist wesentlich zu bemerken, dafs, wenn (a) und (ß)
zwei Glieder einer und derselben Periode sind, diese Periode
sowohl durch (m: a) als auch durch (m': ß) bezeichnet werden kann. Denn da eine jede Periode in sich zurückkehrt, so kann
ein beliebiges Glied derselben als erstes betrachtet werden. So kann
z. B. die in dem vorstehenden System durch (mg: g) bezeichnete
Periode auch durch ( l: 1) bezeichnet werden, weil ihr letztes Glied
glIk _g'-1=i 1 ist. Dadurch würde man als Ausdruck derselben
Periode erhalten:
(m1: 1) (1) + (k-) + (g26) + -. - + (y",'-).