Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

170 Fünfter Hauptteil.
Denn die Zahl a ist, nötigenfalls um das in ihr möglicherweise enthaltene Vielfache von n vermindert, in der Reihe g, g2, g3,... nenthalten, welche, was die Reste der Division durch n anlangt, der
Reihe 1, 2, 3... n - 1 äquivalent ist.
Mittelst der primitiven Wurzel g kann man daher alle
Wurzeln der Gleichulng X=- 0 durch
(a), (s), (g),... (gn-2)
ausdrücken, wobei a irgend eine durch n nicht teilbare Zahl bedeutet. Denn setzt man cc gt, so geht diese Reihe über in:
(911), (gu+l), (?~+2),... (glt+ -2),
und da das folgende Glied
(y1+l-1) -g. (n-i) (~)
ist, so sieht man, dafs diese Reihe cyklisch oder in sich selbst
zurückkehreind ist, und dafs nian sie soiiit bei irgend einem
Gliede anfaingen kann. Dieselbe ist demnach der Reihe (g), (g2),
(3),... (gn-1) älquivalent.
494.
Eben diese Wurzeln würden auch, allerdings in verschiedener
Reihenfolge, durch die Reihe
(~), (oaG), (G ),... (a - 1)
ausgedrüickt werden, wenn G eine andere primitive Wurzel der Gleichung zn-~ - 1 == (n) wäre. Bekanntlich (No. 341) ist aber für
eine und dieselbe Primzahl n die Anzahl der primitiven Wurzeln,
welche der Gleichung zn-l - 1- = Jl(t) genügen, stets dieselbe wie
die Anzahl der Zahlen, welche primi zu n — 1 und kleiner als n- 1
sind. So giebt es z. B. für n =41 sechszehn solche Zahlen, nämlich:
6, 7, 11, 12; 13, 15, 17, 19; 22, 24, 26 28, 2,9, 30, 34, 35.
Man erhält sie sämtlich aus den Potenzen einer von ihneni, wenn
man diejenigen Potenzen wegläfst, deren Exponenten mit n - 1 einen
gemeinschaftlichen Teiler haben. In unserm Falle sind dies diejenigen Potenzen, deren Exponent eine ungerade und durch 5 nicht
teilbare Zahl ist*).
*) Nach Euler ist der kleinste Wert von g für alle Primzahlen von 3 bis 41:
n 3, 5, I7, 1 13 17 19, 23 29, 31, 37, 41
j 2 3,, 3,, 2, 3 3, 2 6.
Anm. d. Verf.