Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 1. Grundlagen dieser neuen Theorie. 169
(a), (2 ), (3a),..., ([ - ] ),
welche sich von der ersten nur durch die Reihenfolge ihrer
Glieder unterscheidet.
492.
Betrachten wir jetzt die unbestimmte Gleichung:
z.-1 1 = (n),
deren rechte Seite ein beliebiges Vielfaches von n bedeutet, so sind
die n -- 1 Wurzeln dieser Gleichung, welche wir positiv und kleiner
als n voraussetzen, bekanntlich die Reihe der natürlichen Zahlen
1, 2, 3,... - 1. Ferner weifs man, dafs es immer möglich ist,
eine Zahl g zu finden, deren aufeinanderfolgende Potenzen sämtliche
Wurzeln derselben Gleichung geben, so dafs die Reihe g, g2, g3,,... gn-l oder, was auf dasselbe hinauskommt, die Reihe 1, g,
2,... y~-2, wenn man die Vielfachen von n wegliäfst, dieselben
Glieder giebt, welche in der Reihe 1, 2, 3,... n- 1 enthalten,
aber in einer verschiedenen Reihenfolge geordnet sind*).
Diese Zahl g, welche auf eine Primzahl n bezogen mit dem
Namen "primitive Wurzel" bezeichnet wird, ist so beschaffen, dafs
g7-1= 1 ist, und dafs keine Potenz von g, deren Exponent kleiner
als - 1 ist, sich auf 1 reducieren kann, wenn man die Vielfachen
von n wegliäfst. Und da n - 1 eine gerade Zahl ist, so erfordert
dieselbe Eigenschaft, dafs g2 =- 1 sei, und dafs keine andere
Potenz von g, deren Exponent kleiner als (i- l) ist, sich durch
Weglassung der Vielfachen von n auf - 1 reducieren könne.
493.
Nachdem dieses festgestellt ist, kann man, wenn a eine beliebige
durch n nicht teilbare Zahl bedeutet, stets einen Exponenten ty von
der Beschaffenheit finden, dafs g- = ~ d. h. g a -a == S(^) ist.
a) Man kann hieraus folgern, dafs nach Weglassung der Vielfachen von n das
-n(n-1i)
Produkt g'. g2.. g. 9n- oder g gleich dem Produkte 1 * 2 ~ 3.* * (n- 1)
-(n - 1)
ist. Weil man aber der Eigenschaft der Zahl g zufolge g = 1 -1 und
1
-n(n —1)
somit g 2 ( — 1)n=- 1 haben mufs, so folgt hieraus, dafs das um eine
Einheit vermnehrte Produkt 1 * 2 3 (n - 1) durch n teilbar ist. Dies ist
der Wilson'sche Satz (No. 130). Anm. d. Verf.