Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

168 Fünfter Hatuptteil.
Primzahl. Mithin kann man den Kreisumfang auf elementar-geometrischem Wege in 257 gleiche Teile teilen, und zwar geschieht dies
mit Hülfe von sieben Gleichungen des zweiten Grades.
Die Peripherie des Kreises läfst sich auf geometrischem Wege
auch in 255 und 256 Teile teilen, weil 255 -= 3 5 17 und 256 = 28
ist. Demnach besitzen die drei aufeinanderfolgenden Zahlen 255, 256,
257 die Eigenschaft, dafs für sie die Teilung des Kreisumfanges in
ebensoviele gleiche Teile auf elementare Weise möglich ist. Bei den
niedrigeren Zahlen müfste man bis zu 15, 16, 17 herabgehen, um
einer gleichen Eigenschaft zu begegnen.
Ferner sieht man, weil 216 + 1 =-365537 ebenfalls eine Primzahl
ist, und wenn man beachtet, dafs
21 - 1 = (2S - l) (28 + 1) 255. 257
ist, dafs die drei aufeinanderfolgenden Zahlen 65535, 65536, 65537,
obwohl sehr grofs, ebenfalls die nämliche Eigenschaft besitzen. Indessen kann mana diese Reihe nicht unmittelbar weiter fortsetzen,
weil 232 + 1 keine Primzahl ist.
491.
Da jede Wurzel der Gleichung X 0 durch r", wo a weder
gleich Null noch ein Vielfaches von n ist, dargestellt werden kann,
so werden wir diese Wurzel durch den abgekürzten Ausdruck (a)
bezeichnen. Hiernach sind zwei Wurzeln (a) und (j) dieselben, wenn
a -ß durch n teilbar ist, und von einander verschieden, wenn dies
nicht der Fall ist. Ferner folgt aus der Erklärung dieser Wurzeln:
(). ( (a + ß), (a) = (a),
Eigenschaften, welche denen der Logarithmen analog sind. Ferner
bemerke man, dafs
(0) 1, (n) = 1, und allgemein (n) =- 1
ist, weil durch diese Ausdrücke die Gröfsen r~, r", rk dargestellt
werden, und diese gleich der Einheit sind.
Die sämtlichen Wurzeln der Gleichung X = 0 werden dargestellt
durch die Reihe:
(1), (2), (3),.., (n-1).
Da man aber für r allgemein r" nehmen kann, vorausgesetzt, dafs a
nicht durch n teilbar ist, so werden die nämlichen Wurzeln auch
dargestellt durch die Reihe: